Taylor 1

[pyerfe]

Devo scrivere lo sviluppo di Taylor di ordine 4 in (0,0) di $f(x,y) = \frac{x}{1+y^2}$
Ho notato che equivale a $x\frac{d}{dy}\arctan{y}$ sviluppando l'arcotangente ho $x\frac{d}{dy}(y-\frac{y^3}{3}+ o(y^4))\subseteq x - xy^2 + o(xy^3)$ è un metodo corretto? Ce n'è uno più rigoroso?

[ghisi]

L'incluso penso sia un errore di scrittura.
Derivare gli sviluppi in generale non è molto corretto: $x^3\sin (1/x^2)$ è un o-piccolo di $x^2$ ma la sua derivata....di conseguenza in generale formalmente mettere la derivata fuori dall'o-piccolo non va bene.
Nel tuo caso specifico funziona (perchè?) e si può giustifcare rigorosamente, ma è un pò buffo ottenere lo sviluppo di Taylor di $1/(1+x^2)$ da quello dell'arcotangente, il cui sviluppo si dimostra usando che è appunto la "primitiva" di $1/(1+x^2)$

[pyerfe]

Grazie mille per la risposta ; in questo caso funziona perché quella "derivata" somiglia allo sviluppo di $(1+y^2)^{-1}$? Però non riesco a capire in quale altro modo ricondurmi a $o(\vert\vert (x,y)\vert\vert^4)$. Forse vedendo che $\frac{1}{1+y^2}-1+y^2 = o(y^3)$ ?

[ghisi]

Si, devi utilizzare lo sviluppo di $1/(1+y^2)$ e questo lo ottieni con una semplice sostituzione dallo sviluppo di $1/(1-z)$ che dovresti conoscere (si tratta di serie di potenze, se hai problemi vai a rivederti le lezioni di Analisi I).