Caratterizzazione debole per solver

[gio17]

Buonasera, ho un dubbio riguardo la freccia (3)->(2) sulla proposizione "weaker characterization" della lezione 65 di quest'anno accademico. Ad un certo punto si scrive che \(\frac{w}{\|w\|} \in im(f) \cap \overline{B}(0,1)\) implica che esiste \(v \in B(0,R)\) tale che \(f(v)=\frac{w}{\|w\|}\) ma non capisco perché. Non mi torna perché ciò segua dall'ipotesi che \(B(0,1) \subset Clos(f(B(0,R))\). Leggendo sul Brezis mi torna che l'implicazione sia vera ma la riesco a dimostrare solo con diversi passaggi in più.

[Massimo Gobbino]

Accidenti il solito problema della corona. Ogni anno qualcuno me lo segnala, poi non lo scrivo e l'anno dopo me lo sono di nuovo dimenticato. In effetti la dimostrazione, così come è scritta, non funziona (ma inganna, a quanto pare). Il problema, come giustamente segnalato, è che quel \(w/\|w\|\) è immagine di qualcosa, ma magari questo qualcosa è enorme, e quindi la stima non è quantitativa.

La via d'uscita più semplice sembra definire il denso su cui è definito il solver in questo modo. Definiamo A come l'insieme di tutti gli elementi di \(f(B_V(0,R))\) che sono contenuti nella corona sferica di W con raggi 1/2 e 1 (prendiamola aperta, e poco importa che i raggi siano 1/2 e 1). Per ipotesi A è denso nella corona. Da questo si deduce abbastanza facilmente che l'insieme di tutti multipli (per un reale) di A è denso in W. Questo è il denso su cui andiamo a definire il solver.

Come lo definiamo? Dato un qualunque w in questo denso, per definizione esiste un suo multiplo (forse sarebbe meglio chiamarlo sottomultiplo) che sta in A (magari ne esistono pure tanti, ed in tal caso ne scegliamo uno). Inoltre controlliamo la costante per cui abbiamo dovuto "dividere" w per finire in A, che al massimo sarà due volte la norma di w. Ora questo "sottomultiplo" davvero è f di qualcosa che ha norma <= R, ed il gioco è fatto.

Grazie mille della segnalazione. Ora lo aggiungo alla errata corrige del 2019/20, così magari resta agli atti.