Approssimazione Low-Cost/Deluxe di W^{1,p}(R): una dimostrazione FORSE illegale...
Posted: Wednesday 31 March 2021, 15:25
Salve a tutti 
.
Premessa: ho sostenuto l'esame di Ist. Anal. a Settembre 2020 ma mi ritrovo adesso a seguire un corso (non in UniPi) in cui viene affrontato da capo quello che sostanzialmente è il Book 2 realizzato dal prof. Gobbino.
Ho incontrato la seguente dimostrazione di quello che, se ricordo bene la nomenclatura, per noi alunni del prof. Gobbino sarebbe il Teorema di Approssimazione Low-Cost (ma anche Deluxe, in questo caso specifico!) per lo spazio \(W^{1,p}(\mathbb{R})\).
Teorema. Data \(u \in W^{1,p}(\mathbb{R})\), con \(p \neq \infty\), esiste \((u_{k})_{k} \subseteq C^{\infty}_{c}(\mathbb{R})\) tale che \(u_{k} \longrightarrow u\) in \(W^{1,p}(\mathbb{R})\).
Dimostrazione. Scegliamo \(\rho\) mollificatore liscio con norma \(L^1\) pari ad 1 e consideriamo le seguenti successioni di funzioni: \(u_{k}:=u*\rho_{k}\) e \(u'_{k}:=u'*\rho_{k}\), dove \(\rho_{k}(x)=k\rho(kx)\).
La teoria degli spazi \(L^p\) e dell'approssimazione per convoluzione ci dice due cose:
1. \(u_{k}\) e \(u'_{k}\) sono lisce perché il mollificatore è liscio;
2. \(u_{k}\) e \(u'_{k}\) approssimano \(u\) ed \(u'\) in \(L^p\) per \(k\) che tende a \(+\infty\).
Da ciò si deduce (o si dovrebbe dedurre...) che \(u_{k}\) approssima \(u\) in \(W^{1,p}(\mathbb{R})\).
Per concludere, poiché le \(u_{k}\) non sono a supporto compatto, si utilizzano delle cut-off nel modo che uno si immagina.
La mia domanda è la seguente. Insieme al professor Gobbino dimostrammo che derivata debole e convoluzione commutano in un opportuno senso, motivo per il quale esiste una versione low-cost dei Teoremi di Approssimazione in cui le derivate deboli convergono solo localmente. Tale fatto permette di scaricare la derivata classica applicata alla funzione liscia \(u*\rho_{k}\) sia come derivata classica sul mollificatore che come derivata debole sulla funzione u. In questa dimostrazione, invece, l'autore sembra voler sfruttare la regolarizzazione di \(u\) e di \(u'\) data dalla convoluzione per evitare di discutere del rapporto tra derivata debole e convoluzione. Io, però, continuo ad avere i miei dubbi al riguardo; a volte mi convince, e altre volte no!
Che ne pensate? Non vi sembra un po' illegale questa dimostrazione? Oltretutto, la notazione trae in inganno perché scrivendo \(u'_{k}\) si tende a dare per scontato che \(u'*\rho_{k}\) sia derivata di \(u_{k}\), ma sta proprio qui il problema!
Grazie a tutti
.Premessa: ho sostenuto l'esame di Ist. Anal. a Settembre 2020 ma mi ritrovo adesso a seguire un corso (non in UniPi) in cui viene affrontato da capo quello che sostanzialmente è il Book 2 realizzato dal prof. Gobbino.
Ho incontrato la seguente dimostrazione di quello che, se ricordo bene la nomenclatura, per noi alunni del prof. Gobbino sarebbe il Teorema di Approssimazione Low-Cost (ma anche Deluxe, in questo caso specifico!) per lo spazio \(W^{1,p}(\mathbb{R})\).
Teorema. Data \(u \in W^{1,p}(\mathbb{R})\), con \(p \neq \infty\), esiste \((u_{k})_{k} \subseteq C^{\infty}_{c}(\mathbb{R})\) tale che \(u_{k} \longrightarrow u\) in \(W^{1,p}(\mathbb{R})\).
Dimostrazione. Scegliamo \(\rho\) mollificatore liscio con norma \(L^1\) pari ad 1 e consideriamo le seguenti successioni di funzioni: \(u_{k}:=u*\rho_{k}\) e \(u'_{k}:=u'*\rho_{k}\), dove \(\rho_{k}(x)=k\rho(kx)\).
La teoria degli spazi \(L^p\) e dell'approssimazione per convoluzione ci dice due cose:
1. \(u_{k}\) e \(u'_{k}\) sono lisce perché il mollificatore è liscio;
2. \(u_{k}\) e \(u'_{k}\) approssimano \(u\) ed \(u'\) in \(L^p\) per \(k\) che tende a \(+\infty\).
Da ciò si deduce (o si dovrebbe dedurre...) che \(u_{k}\) approssima \(u\) in \(W^{1,p}(\mathbb{R})\).
Per concludere, poiché le \(u_{k}\) non sono a supporto compatto, si utilizzano delle cut-off nel modo che uno si immagina.
La mia domanda è la seguente. Insieme al professor Gobbino dimostrammo che derivata debole e convoluzione commutano in un opportuno senso, motivo per il quale esiste una versione low-cost dei Teoremi di Approssimazione in cui le derivate deboli convergono solo localmente. Tale fatto permette di scaricare la derivata classica applicata alla funzione liscia \(u*\rho_{k}\) sia come derivata classica sul mollificatore che come derivata debole sulla funzione u. In questa dimostrazione, invece, l'autore sembra voler sfruttare la regolarizzazione di \(u\) e di \(u'\) data dalla convoluzione per evitare di discutere del rapporto tra derivata debole e convoluzione. Io, però, continuo ad avere i miei dubbi al riguardo; a volte mi convince, e altre volte no!
Che ne pensate? Non vi sembra un po' illegale questa dimostrazione? Oltretutto, la notazione trae in inganno perché scrivendo \(u'_{k}\) si tende a dare per scontato che \(u'*\rho_{k}\) sia derivata di \(u_{k}\), ma sta proprio qui il problema!
Grazie a tutti