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Ciao a tutti! Avrei un dubbio sul teorema di approssimazione deluxe in \(W^{m,p}(\Omega)\), dove \(\Omega\) è un aperto con bordo regolare. La dimostrazione mi è chiara nel caso m=1, dove si usa l'esistenza di un 1-extender per aperti con bordo \(C^1\), ma non ho capito come generalizzarla al caso di m qualsiasi. Dato che abbiamo visto che l'esistenza di un m-extender è sufficiente per concludere, credo che si debba dimostrare l'esistenza di un m-extender per aperti con bordo abbastanza regolare (magari \(C^m\)). Ho pensato di ripercorrere la dimostrazione dell'esistenza del 1-extender ma il problema è che l'estensione per parità sui cilindri non è un m-extender in generale (già per m= 2 mi sembra non lo sia, basta pensare a \(u(x)=x\) in (0,1)).

Nessuno che risponde?

Gli (1,p) extender garantiscono l'approssimazione de luxe in \(W^{1,p}\), da cui ad esempio la teoria delle tracce, ed i teoremi di immersione per \(W^{m,p}\), cioè di ogni ordine. Tutto questo, ai fini degli obiettivi del corso, è più che sufficiente, ed è il motivo per cui ho scelto di trattare nel dettaglio solo il caso degli (1,p) extender.

Per avere l'approssimazione de luxe in \(W^{m,p}\) servono per forza gli (m,p) extender. Tuttavia, capito come fare gli (1,p) extender, passare agli (m,p) non richiede una particolare fatica. Si tratta ancora una volta di fare il caso modello, cioè sostanzialmente estendere da (0,1) a (-1,1), poi passare ai cilindri, ed infine agli aperti con bordo sufficientemente regolare (qui si tratterà semplicemente di assumere che i soliti diffeomorfismi siano di classe \(C^m\)). Il caso modello è trattato nella raccolta di esercizi, tra l'altro discussi e risolti in alcune lezioni di IstAM_21.