Dominio del Dirichlet Laplacian
Posted: Tuesday 26 January 2021, 11:55
A lezione abbiamo definito il Laplaciano di Dirichlet \(A:D(A)\to \textrm{L}^2((0,\pi))\) come ''meno l'inverso'' di un opportuno operatore \(I\) di moltiplicazione con autovalori \(\lambda_n=-\frac{1}{n^2}\) e autovettori la base \(e_n(x)= \sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin (nx)\), ovvero
\(Au=-\ddot{u},\) con dominio \(\textrm{Im}(I)\).
Per lo studio svolto sull'operatore \(I\), sappiamo che \(\textrm{Im}(I)=H^2((0,\pi))\cap H^1_0((0,\pi))\).
Tuttavia, se vedo l'operatore \(A\) come potenza \((-1)\)-esima dell'operatore di moltiplicazione \(I\), trovo che il dominio massimale di \(A\) è
\(D(A)=\{u=\sum u_ne_n: \sum n^4 u_n^2<+\infty\}.\)
L'uguaglianza fra \(D(A)\) e \(\textrm{Im}(I)\) è vera? Vale solo un contenimento stretto? Se valesse l'uguaglianza, questa è un fatto scontato o nasconde qualcosa di più profondo?
Per ora mi sono risposta così.
In corsi precedenti si dimostra il seguente fatto:
Se \( u\in L^2((0,\pi))\) soddisfa \(\sum |n|^h |u_n|<+\infty\), allora la serie \(\sum u_n e_n\) converge totalmente a una funzione continua. Inoltre converge totalmente anche la serie delle derivate \(j\)-esime per \(j<h\).
In realtà ad Analisi 3 viene dimostrato in \(2\pi\) e con la base di seni+coseni. Tuttavia, penso rimanga valido in \(\textrm{L}^2((0,\pi))\) e con la base dei seni perché le derivate vengono espresse in serie di coseni e quindi me la cavo come nella dimostrazione della Proposizione di lezione 69.
Perciò se \(u\in D(A)\), possiamo permetterci \(h<\frac{3}{2}\) e dunque riusciamo a dire che \(u\in H^1_0\) e che la sua derivata prima è continua (oppure potevo fare direttamente come nella Proposizione). Guadagno anche \(H^2\) osservando che anche la serie delle derivate seconde è convergente a \(v\in \textrm{L}^2\) poiché è assolutamente convergente grazie all'ipotesi \(\sum n^4 |u_n|^2<+\infty\). Anche qui mi sembra segua tranquillamente che \(v=\ddot(u)\). Perciò \(D(A) \subset \textrm{Im}(I)\).
Per il viceversa, per guadagnare \(n^4\), dovremmo integrare nuovamente per parti, o usare la definizione di derivata debole, ma non mi sembra possibile, questo:
\(\int_0^{\pi} \frac{1}{n} \dot{u}(x) \cos(nx) dx\).
\(Au=-\ddot{u},\) con dominio \(\textrm{Im}(I)\).
Per lo studio svolto sull'operatore \(I\), sappiamo che \(\textrm{Im}(I)=H^2((0,\pi))\cap H^1_0((0,\pi))\).
Tuttavia, se vedo l'operatore \(A\) come potenza \((-1)\)-esima dell'operatore di moltiplicazione \(I\), trovo che il dominio massimale di \(A\) è
\(D(A)=\{u=\sum u_ne_n: \sum n^4 u_n^2<+\infty\}.\)
L'uguaglianza fra \(D(A)\) e \(\textrm{Im}(I)\) è vera? Vale solo un contenimento stretto? Se valesse l'uguaglianza, questa è un fatto scontato o nasconde qualcosa di più profondo?
Per ora mi sono risposta così.
In corsi precedenti si dimostra il seguente fatto:
Se \( u\in L^2((0,\pi))\) soddisfa \(\sum |n|^h |u_n|<+\infty\), allora la serie \(\sum u_n e_n\) converge totalmente a una funzione continua. Inoltre converge totalmente anche la serie delle derivate \(j\)-esime per \(j<h\).
In realtà ad Analisi 3 viene dimostrato in \(2\pi\) e con la base di seni+coseni. Tuttavia, penso rimanga valido in \(\textrm{L}^2((0,\pi))\) e con la base dei seni perché le derivate vengono espresse in serie di coseni e quindi me la cavo come nella dimostrazione della Proposizione di lezione 69.
Perciò se \(u\in D(A)\), possiamo permetterci \(h<\frac{3}{2}\) e dunque riusciamo a dire che \(u\in H^1_0\) e che la sua derivata prima è continua (oppure potevo fare direttamente come nella Proposizione). Guadagno anche \(H^2\) osservando che anche la serie delle derivate seconde è convergente a \(v\in \textrm{L}^2\) poiché è assolutamente convergente grazie all'ipotesi \(\sum n^4 |u_n|^2<+\infty\). Anche qui mi sembra segua tranquillamente che \(v=\ddot(u)\). Perciò \(D(A) \subset \textrm{Im}(I)\).
Per il viceversa, per guadagnare \(n^4\), dovremmo integrare nuovamente per parti, o usare la definizione di derivata debole, ma non mi sembra possibile, questo:
\(\int_0^{\pi} \frac{1}{n} \dot{u}(x) \cos(nx) dx\).
