Traccia per p=d

[fra_ppa]

Ciao a tutti,
qualcuno si è chiesto cosa succede quando definiamo la traccia per \(p=d\) nel caso base del semispazio?
Cambia qualcosa? Che sommabilità ottengo?

Ho fatto alcune osservazioni. Riferendomi alla lezione 37 (19/20):

1. la stima (1) della Proposizione continua a valere, quindi la traccia come operatore
   \(Tr:W^{1,p}(\mathbb{R}^{d}_+)\to \textrm{L}^{p}(\mathbb{R}^{d-1})\)
   è ben definita e ha tutte le proprietà enunciate nel Teorema (beh, a parte le ultime due stime della Proposizione)
2. la disuguaglianza usata per dimostrare (1) e (2) continua a valere per ogni \(r\), quindi mi piacerebbe riuscire a controllare \(\textrm{L}^q\) con un'induzione simile a quella vista nelle immersioni. Tuttavia, ai due lati della disuguaglianza citata ho norme su spazi diversi:
   \(||u(x,0)||_{\textrm{L}^{r+1}(\mathbb{R}^{d-1})}^{r+1}\leq (r+1) ||\nabla u||_{\textrm{L}^{p}(\mathbb{R}^{d}_+)} \cdot ||u||_{\textrm{L}^{\frac{rp}{p-1}}(\mathbb{R}^{d}_+)}^{r}\)
   quindi non sono riuscita a usarla con successo
3. la funzione \(u\) si immerge in ogni \(L^q(\mathbb{R}^d)\) per \(q\in[p,+\infty)\), ma non necessariamente in \(W^{1,q}(\mathbb{R}^d)\). Se fosse vero per qualche \(q>d\), guadagnerei holderianità e il problema si banalizzerebbe. Perciò mi chiedo: se \(u \in \textrm{L}^q(\mathbb{R}^d_+)\) per ogni \(q\in[p,+\infty)\) ed esiste \(\bar{q}>p\) tale che \(Tr (u) \in \textrm{L}^{\bar{q}}(\mathbb{R}^{d-1})\), posso concludere che in realtà \(u\in \textrm{W}^{1,\bar{q}}(\mathbb{R}^d_+)\)?

[Massimo Gobbino]

Nessuno che risponde? Brutto segno .

Anche per la traccia, così come per la compattezza e per le varie Poincaré-Sobolev-Wirtinger, il caso \(p=d\) rientra tra quelli semplici. Il risultato è, come era facile prevedere, che la traccia sta in \(L^q\) per ogni \(q\in[p,+\infty)\), ma in generale non sta in \(L^\infty\) (praticamente con gli stessi controesempi delle immersioni).

La dimostrazione è praticamente quella scritta sopra al punto 2: basta prendere r=q-1 ed osservare che la norma di u al RHS ha esponente maggiore o uguale di p, dunque la sappiamo controllare con la full-norm in \(W^{1,p}\) proprio per le immersioni.

Il punto 3 è troppo bello per essere vero, ed infatti è falso: per convincersene bastano i soliti controesempi di roba che sta in \(W^{1,d}\) ma non in \(L^\infty\).