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L'immersione di W^(1,p) in L^p* non è compatta
Posted: Tuesday 5 January 2021, 10:06
by fra_ppa
Ho provato a sistemare l'Esempio delineato per step a fine Lezione 36/19-20 o 43/20-21:
Secondo me l'unica difficoltà dell'esercizio è fare correttamente la derivata della funzione composta e il cambio di variabile nell'integrale
\( d \)-dimensionale.
Dovrei motivare il fatto che, nello Step 1,
\( r_n \to 0 \)?
Re: L'immersione di W^(1,p) in L^p* non è compatta
Posted: Thursday 14 January 2021, 12:13
by Massimo Gobbino
fra_ppa wrote: ↑Tuesday 5 January 2021, 10:06
Dovrei motivare il fatto che, nello Step 1,
\( r_n \to 0 \)?
Il fatto che i raggi tendano a 0 non è qualcosa che vogliamo dedurre, ma se vogliamo lo possiamo imporre (il coltello dalla parte del manico lo abbiamo noi, cioè abbiamo diritto a scegliere i raggi come ci pare). Poi posso essere d'accordo che segua banalmente dal fatto che le palle sono disgiunte e contenute in un aperto limitato. Tra l'altro, si usa da qualche parte nel corso della dimostrazione che i raggi vadano a 0? [Si usa per dire che le norme in
\(L^p\) tendono a 0, ma basterebbe in realtà che fossero limitate]
Al limite uno dovrebbe motivare che esistono le palle a 2 a 2 disgiunte, ma mi sembra sostanzialmente banale (ma meglio diffidare della parola "banale", perché il diavolo è nei dettagli).