Duale degli L^p se p finito e misura sigma-finita

[fra_ppa]

Ciao a tutti! Come si generalizza la dimostrazione in oggetto se la misura è \(\sigma\)-finita? Guardando nella prima versione del corso, ho trovato una road map e ho provato a sistemare i dettagli. Non sono riuscita a concludere il punto 3.

1. Invado \(X\) con sottoinsiemi \(X_k\) di misura finita tali che \(X_k\subseteq X_{k+1}\).

2. Data \(L\in (L^p(X))'\), definisco \(L_k\in (L^p(X_k))'\) come segue. Data \(f\in L^p(X_k)\), considero l'estensione \(\widehat{f}\) di \(f\) a \(X\) nulla al di fuori di \(X_k\) e pongo \(L_k(f) = L(\widehat{f})\). Linearità e continuità mi sembrano ovvie.

3. Per ogni \(k\), data \(L_k\in (L^p(X_k))'\) riesco a costruire \(g_k\in L^{p'}\) che rappresenti l'operatore \(L_k\). Meglio, per ogni \( f\in L^p(X_k)\) si ha che \([Jg_k](f)=L_k(f)\).

Proviamo che \(g_k = g_{k+1}\) quasi ovunque su \(X_k\). Sia \(A\) un sottoinsieme misurabile contenuto in \(X_k\). Poiché \(X_k\subseteq X_{k+1}\), vale anche che \(A\subseteq X_{k+1}\). Allora \(L_k(1_A) = L_{k+1}(A)\) poiché l'estensione \(\widehat{1_A}\) è la stessa in entrambi i casi. Riesco a dire che

\(\int_A g_k = \int_{X_k} 1_{A} g_k = L_k(1_A) = L_{k+1}(1_A) = \int_A g_{k+1}\).

Come concludere questo passaggio?

4. A questo punto possiamo definire \(g\) come l'unione delle \(g_k\). L'osservazione precedente ci garantisce che la definizione sia ben posta. Dobbiamo mostrare due cose. La prima è che \(g\in L^{p'}\). Caso \(p' < \infty\). Per ogni \(k\) sappiamo che vale la seguente catena di uguaglianze:

\(||g\cdot 1_{X_k}||_{L^{p'}(X)} = ||g||_{L^{p'}(X_k)} = ||g_k||_{L^{p'}(X_k)} \leq ||L_k||_{(L^p(X_k))'} \) (per passi dimostrati nella dimostrazione vista a lezione)

Si ha che \(||L_k||_{(L^p(X_k))'} \leq ||L||_{(L^p(X))'}\) dal momento che

\(||L_k||_{(L^p(X_k))'} = \sup \{ |L_k(f)| : f \in L^p(X_k), ||f||_{L^p(X_k)} \leq 1 \} \)

\(\quad = \sup \{ |L(f)| : f \in L^p(X) \text{ nulla fuori di } X_k, ||f||_{L^p(X)}\leq 1 \} \)

\(\quad \leq \sup \{ |L(f)| : f \in L^p(X), ||f||_{L^p(X)}\leq 1 \} = ||L||_{(L^p(X))'}\)

Perciò per ogni \(k\) vale la disuguaglianza \(||g\cdot 1_{X_k}||_{L^{p'}(X)} \leq ||L||_{(L^p(X))'}\). Passando al limite in \(k\), il lato sinistro tende a \(||g||_{L^{p'}(X)}\) per Beppo-Levi, quindi \(g\in L^{p'}\).

Caso \(p'=\infty\). Per ogni \(k\) vale che \(g\cdot 1_{X_k} = g_k\), quindi

\(|g\cdot 1_{X_k}|\leq ||L_k||_{(L^1(X_k))'} \leq ||L||_{(L^1(X))'}\).

Per arbitrarietà di \(k\), dato che gli \(X_k\) invadono tutto lo spazio, otteniamo che \(|g|\leq ||L||_{(L^1(X))'}\), dunque \(g\in L^{\infty}(X)\).

Come seconda cosa, dobbiamo provare che \(g\) rappresenta \(L\). Dato che \(g \in L^{p'}\), il funzionale \(Jg\) è lineare e continuo in \(L^p\). Perciò, dato che \(p\) è finito, è sufficiente mostrare che \(Jg\) e \(L\) coincidono sulle indicatrici di insiemi contenuti in un qualche \(X_k\) (è un denso). Coincidono poiché se \(A\subseteq X_k\), allora \(L(1_A) = L_k(1_A) = [Jg_k](1_A) = [Jg](1_A)\).

[g.delsarto2]

Ciao Fra, provo a rispondere alla domanda che poni ripercorrendo la dimostrazione di questo teorema svolta da Marco I. nei suoi appunti (https://poisson.phc.dm.unipi.it/~invers ... matica.pdf).

Mostriamo che \(g_k =g_{k+1}\) quasi ovunque su \(X_k\). Sia \(h \in L^p(X_k) \) fissata. Considero l'estensione \(\hat{h}\) di \(h\) a \(X_{k+1}\) nulla al di fuori di \(X_k\). Naturalmente vale che \( \hat{h} \in L^p(X_{k+1})\). Inoltre \( L_{k}(h)=L_{k+1}(\hat{h})\), per come sono definiti \(L_k\) e \(L_{k+1}\). Dunque

\( \int_{X_k} g_k \, h = \int_{X_{k+1}}g_{k+1} \, \hat{h} =\int_{X_k} g_{k+1} \,h\).

Da questo segue che \(g_k =g_{k+1}\) q.o. su \(X_k\) per iniettività della mappa \(J \colon L^{p'}(X_k) \to \left(L^{p}(X_{k+1})\right)'\) che compare nell'enunciato del teorema di cui stiamo discutendo nella versione per spazi di misura finita.

Spero di essermi spiegato e di non aver commesso errori.

[fra_ppa]

Credo ti sia sfuggito un \(+1\) nell'ultimo duale! Dovrebbe essere \((L^p(X_k))'\)?
Credo di aver capito e mi sembra funzioni, grazie mille!

[g.delsarto2]

Sì, mi è sfuggito prego!

[Massimo Gobbino]

Da questo segue che \(g_k =g_{k+1}\) q.o. su \(X_k\) per iniettività della mappa \(J \colon L^{p'}(X_k) \to \left(L^{p}(X_{k+1})\right)'\)

Potrei fare l'avvocato del diavolo e chiedere perché la mappa è iniettiva

[g.delsarto2]

Mhmm direi che:

(1) Se \(V,W\) sono spazi normati e \(f \colon V \to W\) è un'isometria lineare, allora \(f \) è iniettiva (se \(v \in Ker(f)\), allora \(f(v)=0\), dunque \(\vert \vert f(v) \vert \vert = 0\); ma \(f\) preserva la norma, per cui \(\vert \vert v \vert \vert =0\), da cui \(v=0\)).

(2) Il teorema di cui stiamo discutendo (nella versione di spazio con misura finita) ci dice che la mappa \(J \colon L^{p'}(X_k) \to \left(L^p(X_k) \right)'\) è un'isometria lineare.

Mettendo insieme (1) e (2) si dovrebbe avere una buona dimostrazione di come mai \(J\) è iniettiva