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Qual è il limite debole di \(\sqrt{n}\sin(nx)\) per \(n\to+\infty\)?
Credo sia 0. Allego lo svolgimento.

Lo svolgimento è sbagliato: nell'integrazione per parti ho sostituito a \(g_n'(x)\) la primitiva di \(\sqrt{n}\sin(nx)\) e non la sua derivata, sbagliando tutti i conti. Inoltre molti passaggi non sono rigorosi.

A lezione abbiamo concluso che il limite debole non esiste e che la successione in esame non ammette sottosuccessioni debolmente convergenti, in quanto non è limitata (più avanti nel corso vedremo che è una condizione necessaria). Preliminarmente abbiamo osservato che se un limite esiste, allora è nullo (testando la successione con una qualsiasi \(\sin(mx)\)). Per provare che non esiste, con gli strumenti che abbiamo ora, è necessario esibire una funzione \(\varphi\in\mathrm{L}^2([0,\pi])\) tale che \(<g_n,\varphi>_{\mathrm{L^2}} \not\rightarrow 0\).
La candidata è

\(\displaystyle\varphi(x)=\sum_{k\geq 1} \frac{1}{k} \sin(k^2 x),\)

convergente in \(\mathrm{L^2}\) dal momento che i coefficienti sono quadrato sommabili. Funziona dal momento che

\(<g_n,\varphi>_{\mathrm{L^2}}=\begin{cases} \frac{\pi}{2} &n\text{ è un quadrato perfetto}, \\ 0 &\text{altrimenti.}\end{cases} \)

Perciò la successione è frequentemente pari a \(\frac{\pi}{2}\). Considerata l'osservazione preliminare, concludiamo che il limite debole non esiste.