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Buongiorno. Avrei un dubbio sulla dimostrazione del teorema spettrale: nella dimostrazione andiamo a costruire un a successione di spazi A invarianti fissando di volta in volta un punto di massimo per il coefficiente di Rayleigh. A posteriori noi sappiamo che questa scelta si fa tra un numero finito di vettori di norma unitaria quindi non ci sono problemi, ma a priori questa scelta non richiederebbe l'assioma di scelta ? Perché la dimostrazione che gli autospazi relativi ad autovalori non nulli sia di dimensione finita, segue dalla decresenza della successione dei moduli degli autovalori, che a sua volta segue dalla costruzione della successione di sottospazi.

A me sembra di sì. Ti faccio notare che anche se la scelta è tra un numero finito di vettori e lo sapessimo fin dall'inizio non potremmo concludere comunque nulla perché i vettori non sono ordinati in alcun modo, e dunque non possiamo scegliere facendo qualcosa tipo "il minimo" tra essi. Penso che per formalizzare la dimostrazione del teorema la funzione di scelta vada presa all'inizio, definita su tutti i vettori di norma 1, che è un insieme della stessa cardinalità di H: non si può sapere in anticipo quali saranno i sottoinsiemi finiti su cui ti serve!

Eh sì, un po' d scelta serve sempre. Ma certe volte ha un aspetto più inoffensivo di altre , almeno per i non esperti del settore.