Errori nelle lezioni 2019/20
Posted: Tuesday 17 December 2019, 19:41
Iniziamo qui un lungo elenco 
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Lezione 27 -- Inizio pagina 4.
Nella dimostrazione dell'approssimazione low-cost per funzioni di Sobolev si pone \(u_\varepsilon=\widehat{u}*\rho_\varepsilon\). Questo non basta perché nessuno garantisce che così definite le \(u_\varepsilon\) abbiano supporto compatto (questo è vero solo se \(\Omega\) è limitato). In generale bisogna anche moltiplicare per una opportuna funzione cutoff in modo da guadagnare il supporto compatto, come nella dimostrazione dell'approssimazione deluxe su tutto lo spazio. La moltiplicazione per la cutoff si può fare sia prima, sia dopo la convoluzione. Per maggiori dettagli, vedi Lezione 31 di IstAM_20 oppure Lezione 38 di IstAM_21.
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Lezione 28 -- Fine pagina 3.
Nella dimostrazione del sublemma non è del tutto ovvio che gli aperti risparmiosi, costruiti uno per uno, costituiscono a loro volta un ricoprimento anche alla fine (nella dimostrazione si verifica solo che ad ogni passo abbiamo ancora un ricoprimento). Per dimostrare questo fatto occorre utilizzare che il ricoprimento è puntualmente finito. Per un qualunque \(x\in A\), questo appartiene solo ad un numero finito di aperti \(A_1,\ldots,A_k\), dunque se \(x\) sta nell'unione dei primi k aperti risparmiosi (e ci sta perché ad ogni passaggio abbiamo ancora un ricoprimento), allora starà pure nell'unione di tutti quanti. In altre parole: \(x\) non sta in nessuno degli \(A_i\) con \(i>k\), dunque non rischia più di essere levato dai tagli risparmiosi.
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Lezione 29 -- Pagina 2.
L'enunciato del caso mp>d è sbagliato. L'enunciato corretto dovrebbe essere il seguente.
Definiamo h come il minimo n per cui np >= d. Ora stiamo consentendo anche l'uguale, ma dobbiamo fare una distinzione nella tesi.
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Lezione 31 -- Teoremi di immersione per p<d.
Nello Step 1 si dimostra il risultato in \(C^\infty_c\), poi nello Step 2 si usa lo Step 1 per una potenza di u che non è necessariamente di classe \(C^\infty\). Il problema si risolve facilmente: basta fare sia lo Step 1 sia lo Step 2 per funzioni \(C^1_c\). L'argomento è esattamente lo stesso.
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Lezione 32 -- Teoremi di immersione per p infinito.
La dimostrazione funziona bene per p finito, ma nel caso p=infinito ci sono problemi nel senso che, ammesso anche di aver dimostrato la stima nel caso \(C^\infty\), poi però non valgono i teoremi di approssimazione per passare al limite. La via d'uscita consiste nell'usare direttamente le convoluzioni, far vedere che queste sono equi-Lipschitz e convergono uniformemente. Ci sono però piccoli dettagli da sistemare. Per maggiori informazioni, si può consultare la Lezione 36 di IstAM_21.
Una possibile alternativa è passare per il fatto che la funzione è Holderiana per ogni esponente minore di 1, ma qui le seccature tecniche sono ancora superiori (su tutto lo spazio stare in \(W^{1,\infty}\) non vuol dire stare in \(W^{1,p}\), e stare in tutti gli Holder di esponente minore di 1 non vuol dire essere Lipschitz). Inoltre, per questa strada non si ottiene la stima ottimale per cui la costante di Lipschitz coincide con la norma infinito del gradiente.
Regola d'oro: nelle dimostrazioni controllare sempre a parte i casi p=1 e p=infinito, perché qualche particolarità la presentano sempre
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Lezione 36 -- Dimostrazione di Rellich-Kondrachov -- Step 2.
Per p>1 va tutto bene, ma per p=1 verrebbe p'=infinito e quindi \(\left\{\operatorname{meas}(\Omega\setminus\Omega_k)\right\}^{1/p'}\) non tende a 0. La cosa si rimedia osservando che in realtà nel caso p=1 la funzione sta in realtà anche in \(L^{1*}\), e quindi quel passaggiosi può fare con 1* invece di p. Su questo punto, si veda anche la precisazione in fondo a pagina 4 della Lezione 43 di IstAM_21.
Regola d'oro: nelle dimostrazioni controllare sempre a parte i casi p=1 e p=infinito, perché qualche particolarità la presentano sempre (come già visto precedentemente con i teoremi di immersione).
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Lezione 38 -- Continuità della traccia.
La dimostrazione è corretta, quella indicata qui
https://forum.dm.unipi.it/Studenti/view ... =43&t=2691
è molto più semplice.
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Lezione 42 -- Primissime righe.
Il primo passaggio della dimostrazione di PSW non torna come è scritto. In realtà per interpolazione si arriva a
\(\|u\|_{L^q(\Omega)}\leq \|u\|_{L^p(\Omega)}^\alpha \cdot \|u\|_{L^{p*}(\Omega)}^{1-\alpha}\)
per un opportuno \(\alpha\), e a questo punto entrambi i termini si stimano con la full norm in \(W^{1,p}\) per immersione e si prosegue come scritto.
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Lezione 44 -- Pagina 1.
Nella formula della condizione (iv) manca chiaramente la matrice A(x) davanti al Du.
Inoltre nei teoremi in forma iterata (fondo della pagina) occorre assumere maggiore regolarità anche sulla matrice A(x), che deve stare in \(C^{k+1}(\Omega)\).
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Lezione 49 -- Corollari a pagina 3 e 5.
Sia nel caso Hilbert, sia nel caso di spazi normati, nella lezione si dà per scontato che un operatore lineare a valori in uno spazio di dimensione finita è automaticamente compatto. Questo è vero se anche lo spazio di partenza ha dimensione finita, oppure se l'operatore oltre che lineare è pure continuo, ma in generale è falso. Quindi le caratterizzazioni mediante approssimazione degli operatori continui e compatti devono leggersi nella forma "un operatore è continuo e compatto se e solo se si può approssimare uniformemente sui compatti mediante operatori continui e compatti con immagine contenuta in sottospazi di dimensione finita". Certo così si perde l'estetica di non assumere la compattezza delle approssimanti, ma almeno resta il range finito.
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Lezione 56 -- Fine pagina 5.
I vincoli corretti quando si applica Hahn-Banach sono
\(L(s)\leq p(s+v)-L(v)\qquad\mbox{e}\qquad L(s)\geq L(v)-p(s-v)\).
Lo stesso esercizio è svolto con più dettagli nella Lezione 66 di IstAM_21.
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Lezione 59 -- Pagina 6.
Le prime righe dello Step 2 non funzionano, perché bisognerebbe verificare che nel sottospazio sono verificate le ipotesi di HB. Anzi è proprio falso che la f con quella proprietà abbia norma 1, a meno che W non sia contenuto nel Ker di un funzionale allineato a v.
Tuttavia, per il resto dello Step, basta dimostrare che quella f è per lo meno continua, e poi ottenerne una di norma 1 moltiplicando per una costante opportuna. Su questa faccenda si veda anche la Lezione 59 di IstAM_22.
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Lezione 66 -- Pagina 1 inizio.
La dimostrazione dell'implicazione (iii) implica (ii) non funziona. La ragione è che non è detta che x stia nella palla di V con raggio R, come scritto. Per uscirne occorre definire diversamente il denso. Si definisce A come l'immagine di \(B_V(0,R)\) intersecata con la corona sferica aperta di W centrata nell'origine con raggi 1/2 e 1. Quasi per ipotesi A è denso nella corona, e quindi i multipli di A sono densi in W. Questo è il denso su cui si va a definire il solver, sostanzialmente al solito modo. Maggiori dettagli al post specifico.
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Lezione 70 -- Pagina 2.
Erroneamente nella seconda pagina c'è scritto che una base di autovettori del Dirichlet Laplacian nell'intervallo \((-\pi/2,\pi/2)\) è \(\cos(nx)\). Dopo un po' mi accorgo che deve essere n dispari, per avere l'annullamento al bordo.
Il fatto è che questi non bastano. Facendo il conto per bene, come fatto nel caso di \((0,\pi)\), si vede che gli autovalori sono i quadrati degli interi positivi, ma gli autovettori sono \(\cos(nx)\) per n dispari e \(\sin(nx)\) per n pari.
Dal punto di vista matematico non cambia molto, se non che bisogna considerare, quando si passa al quadrato, tutti i prodotti possibili tra seni e coseni. Allora tanto vale lavorare direttamente nel quadrato \((0,\pi)\times(0,\pi)\), facendo la traccia per \(y=\pi/2\), cosa che non avevo fatto nella speranza di evitare di distinguere i casi pari/dispari.
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Lezione 70 -- Pagina 4.
Alla quarta riga, quando si sostituisce a \(v_m\) il valore trovato alle prime 2 righe, manca una serie rispetto ad n. Più precisamente, dopo il segno <=, e dopo la serie per m che va da 1 all'infinito, ci vuole la serie per n che va da 1 all'infinito.
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Lezione 27 -- Inizio pagina 4.
Nella dimostrazione dell'approssimazione low-cost per funzioni di Sobolev si pone \(u_\varepsilon=\widehat{u}*\rho_\varepsilon\). Questo non basta perché nessuno garantisce che così definite le \(u_\varepsilon\) abbiano supporto compatto (questo è vero solo se \(\Omega\) è limitato). In generale bisogna anche moltiplicare per una opportuna funzione cutoff in modo da guadagnare il supporto compatto, come nella dimostrazione dell'approssimazione deluxe su tutto lo spazio. La moltiplicazione per la cutoff si può fare sia prima, sia dopo la convoluzione. Per maggiori dettagli, vedi Lezione 31 di IstAM_20 oppure Lezione 38 di IstAM_21.
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Lezione 28 -- Fine pagina 3.
Nella dimostrazione del sublemma non è del tutto ovvio che gli aperti risparmiosi, costruiti uno per uno, costituiscono a loro volta un ricoprimento anche alla fine (nella dimostrazione si verifica solo che ad ogni passo abbiamo ancora un ricoprimento). Per dimostrare questo fatto occorre utilizzare che il ricoprimento è puntualmente finito. Per un qualunque \(x\in A\), questo appartiene solo ad un numero finito di aperti \(A_1,\ldots,A_k\), dunque se \(x\) sta nell'unione dei primi k aperti risparmiosi (e ci sta perché ad ogni passaggio abbiamo ancora un ricoprimento), allora starà pure nell'unione di tutti quanti. In altre parole: \(x\) non sta in nessuno degli \(A_i\) con \(i>k\), dunque non rischia più di essere levato dai tagli risparmiosi.
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Lezione 29 -- Pagina 2.
L'enunciato del caso mp>d è sbagliato. L'enunciato corretto dovrebbe essere il seguente.
Definiamo h come il minimo n per cui np >= d. Ora stiamo consentendo anche l'uguale, ma dobbiamo fare una distinzione nella tesi.
- Se hp > d, allora u è di classe \(C^{m-h}\), e le sue derivate di ordine m-h sono Holderiane di esponente h-d/p (che in questo caso è compreso strettamente tra 0 ed 1) con stima pura della costante di Holder.
- Se hp = d, allora u è di classe \(C^{m-h-1}\), e le sue derivate di ordine m-h-1 sono Holderiane con ogni esponente a<1 (ma in generale non Lipschitziane), con stima impura delle costanti di Holder.
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Lezione 31 -- Teoremi di immersione per p<d.
Nello Step 1 si dimostra il risultato in \(C^\infty_c\), poi nello Step 2 si usa lo Step 1 per una potenza di u che non è necessariamente di classe \(C^\infty\). Il problema si risolve facilmente: basta fare sia lo Step 1 sia lo Step 2 per funzioni \(C^1_c\). L'argomento è esattamente lo stesso.
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Lezione 32 -- Teoremi di immersione per p infinito.
La dimostrazione funziona bene per p finito, ma nel caso p=infinito ci sono problemi nel senso che, ammesso anche di aver dimostrato la stima nel caso \(C^\infty\), poi però non valgono i teoremi di approssimazione per passare al limite. La via d'uscita consiste nell'usare direttamente le convoluzioni, far vedere che queste sono equi-Lipschitz e convergono uniformemente. Ci sono però piccoli dettagli da sistemare. Per maggiori informazioni, si può consultare la Lezione 36 di IstAM_21.
Una possibile alternativa è passare per il fatto che la funzione è Holderiana per ogni esponente minore di 1, ma qui le seccature tecniche sono ancora superiori (su tutto lo spazio stare in \(W^{1,\infty}\) non vuol dire stare in \(W^{1,p}\), e stare in tutti gli Holder di esponente minore di 1 non vuol dire essere Lipschitz). Inoltre, per questa strada non si ottiene la stima ottimale per cui la costante di Lipschitz coincide con la norma infinito del gradiente.
Regola d'oro: nelle dimostrazioni controllare sempre a parte i casi p=1 e p=infinito, perché qualche particolarità la presentano sempre
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Lezione 36 -- Dimostrazione di Rellich-Kondrachov -- Step 2.
Per p>1 va tutto bene, ma per p=1 verrebbe p'=infinito e quindi \(\left\{\operatorname{meas}(\Omega\setminus\Omega_k)\right\}^{1/p'}\) non tende a 0. La cosa si rimedia osservando che in realtà nel caso p=1 la funzione sta in realtà anche in \(L^{1*}\), e quindi quel passaggiosi può fare con 1* invece di p. Su questo punto, si veda anche la precisazione in fondo a pagina 4 della Lezione 43 di IstAM_21.
Regola d'oro: nelle dimostrazioni controllare sempre a parte i casi p=1 e p=infinito, perché qualche particolarità la presentano sempre (come già visto precedentemente con i teoremi di immersione).
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Lezione 38 -- Continuità della traccia.
La dimostrazione è corretta, quella indicata qui
https://forum.dm.unipi.it/Studenti/view ... =43&t=2691
è molto più semplice.
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Lezione 42 -- Primissime righe.
Il primo passaggio della dimostrazione di PSW non torna come è scritto. In realtà per interpolazione si arriva a
\(\|u\|_{L^q(\Omega)}\leq \|u\|_{L^p(\Omega)}^\alpha \cdot \|u\|_{L^{p*}(\Omega)}^{1-\alpha}\)
per un opportuno \(\alpha\), e a questo punto entrambi i termini si stimano con la full norm in \(W^{1,p}\) per immersione e si prosegue come scritto.
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Lezione 44 -- Pagina 1.
Nella formula della condizione (iv) manca chiaramente la matrice A(x) davanti al Du.
Inoltre nei teoremi in forma iterata (fondo della pagina) occorre assumere maggiore regolarità anche sulla matrice A(x), che deve stare in \(C^{k+1}(\Omega)\).
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Lezione 49 -- Corollari a pagina 3 e 5.
Sia nel caso Hilbert, sia nel caso di spazi normati, nella lezione si dà per scontato che un operatore lineare a valori in uno spazio di dimensione finita è automaticamente compatto. Questo è vero se anche lo spazio di partenza ha dimensione finita, oppure se l'operatore oltre che lineare è pure continuo, ma in generale è falso. Quindi le caratterizzazioni mediante approssimazione degli operatori continui e compatti devono leggersi nella forma "un operatore è continuo e compatto se e solo se si può approssimare uniformemente sui compatti mediante operatori continui e compatti con immagine contenuta in sottospazi di dimensione finita". Certo così si perde l'estetica di non assumere la compattezza delle approssimanti, ma almeno resta il range finito.
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Lezione 56 -- Fine pagina 5.
I vincoli corretti quando si applica Hahn-Banach sono
\(L(s)\leq p(s+v)-L(v)\qquad\mbox{e}\qquad L(s)\geq L(v)-p(s-v)\).
Lo stesso esercizio è svolto con più dettagli nella Lezione 66 di IstAM_21.
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Lezione 59 -- Pagina 6.
Le prime righe dello Step 2 non funzionano, perché bisognerebbe verificare che nel sottospazio sono verificate le ipotesi di HB. Anzi è proprio falso che la f con quella proprietà abbia norma 1, a meno che W non sia contenuto nel Ker di un funzionale allineato a v.
Tuttavia, per il resto dello Step, basta dimostrare che quella f è per lo meno continua, e poi ottenerne una di norma 1 moltiplicando per una costante opportuna. Su questa faccenda si veda anche la Lezione 59 di IstAM_22.
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Lezione 66 -- Pagina 1 inizio.
La dimostrazione dell'implicazione (iii) implica (ii) non funziona. La ragione è che non è detta che x stia nella palla di V con raggio R, come scritto. Per uscirne occorre definire diversamente il denso. Si definisce A come l'immagine di \(B_V(0,R)\) intersecata con la corona sferica aperta di W centrata nell'origine con raggi 1/2 e 1. Quasi per ipotesi A è denso nella corona, e quindi i multipli di A sono densi in W. Questo è il denso su cui si va a definire il solver, sostanzialmente al solito modo. Maggiori dettagli al post specifico.
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Lezione 70 -- Pagina 2.
Erroneamente nella seconda pagina c'è scritto che una base di autovettori del Dirichlet Laplacian nell'intervallo \((-\pi/2,\pi/2)\) è \(\cos(nx)\). Dopo un po' mi accorgo che deve essere n dispari, per avere l'annullamento al bordo.
Il fatto è che questi non bastano. Facendo il conto per bene, come fatto nel caso di \((0,\pi)\), si vede che gli autovalori sono i quadrati degli interi positivi, ma gli autovettori sono \(\cos(nx)\) per n dispari e \(\sin(nx)\) per n pari.
Dal punto di vista matematico non cambia molto, se non che bisogna considerare, quando si passa al quadrato, tutti i prodotti possibili tra seni e coseni. Allora tanto vale lavorare direttamente nel quadrato \((0,\pi)\times(0,\pi)\), facendo la traccia per \(y=\pi/2\), cosa che non avevo fatto nella speranza di evitare di distinguere i casi pari/dispari.
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Lezione 70 -- Pagina 4.
Alla quarta riga, quando si sostituisce a \(v_m\) il valore trovato alle prime 2 righe, manca una serie rispetto ad n. Più precisamente, dopo il segno <=, e dopo la serie per m che va da 1 all'infinito, ci vuole la serie per n che va da 1 all'infinito.
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); immagino che dunque la domanda sia: alla fine, gli aperti risparmiosi ricoprono? Questo è vero e segue dalla puntuale finitezza del ricoprimento originale: se infatti esiste un 
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