Domanda sulla costante di Poincarè degli intervalli

[gino]

Mi stavo chiedendo se la costande di Poincarè per gli intervalli è data semplicemente da \(c([t_0;t_0+a])=c([0;a])=\frac{a^2}{\pi ^2}\).
Mi sembra che si possa dedurre direttamente dal fatto che \(c(\pi)=1\) ed è "quadratica" sulla lunghezza dell'intervallo, infatti il riscalamento da \(R_a:H^2(0;\pi) \to H^2(0;a)\) con \([R_a(u)](x)=u(\frac{\pi}{a}x)\) è iniettivo e suriettivo, inoltre \(\Vert R_a(u) \Vert_2=\frac{a}{\pi} \Vert u \Vert_2\) e \(\Vert (R_a(u))^{'} \Vert_2 = \frac {\pi}{a} \Vert u^{'} \Vert_2\). Quindi se \(\Vert u \Vert_2 \le \Vert u^{'} \Vert_2\) allora \(\Vert R_a(u) \Vert_2 \le \frac {a^2}{\pi^2} \Vert [R_a(u)]^{'} \Vert_2\). Sbaglio qualcosa?

[Massimo Gobbino]

Mi stavo chiedendo se la costande di Poincarè per gli intervalli è data semplicemente da \(c([t_0;t_0+a])=c([0;a])=\frac{a^2}{\pi ^2}\).

Certamente, e la cosa vale molto più in generale, e in particolare in tutte le dimensioni e per tutte le disuguaglianze alla Sobolev-Poincaré-Wirtinger "pure", cioè in cui ci sono ordini di derivazione "uniformi" al rhs ed al lhs (ad esempio solo funzione al lhs e solo derivate prime al rhs). In questo caso infatti sia il lhs sia il rhs scalano bene per omotetia, e di conseguenza le costanti in due aperti omotetici sono collegare da una potenza opportuna del fattore di riscalamento. Quando gli esponenti sono quelli "giusti" delle immersioni, la costante è pure invariante per omotetia, visto che lhs e rhs riscalano allo stesso modo.

Le cose sono diverse nel caso delle disuguaglianze "impure", come quelle in cui si controlla la norma \(L^q\) di una funzione in termini della full-norm in \(W^{1,p}\). In questo caso, infatti, i diversi termini del rhs riscalano diversamente.

[gino]

Giusto! grazie!