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Ho un dubbio credo stupido ma che in questo momento non riesco a inquadrare.
Supponiamo di avere \(X,Y\) spazi di Banach e che \(f:X \rightarrow Y\).
Alla lezione 66 abbiamo detto che il suo grafico è chiuso se, qualora \(x_n\rightarrow x_\infty\) in \(X\) e \(f(x_n)\rightarrow y_\infty\) in \(Y\), allora \(y_\infty=f(x_\infty)\). Ma questa non è la definizione di continuità per successioni? Io ricordavo di sì ma non può essere perché allora non servirebbe l'ipotesi di \(f\) lineare per dimostrare l'equivalenza con la continuità nel teorema del grafico chiuso.
Dove mi sto perdendo?

Semplicemente qui hai più ipotesi, infatti stiamo dicendo che se la coppia \((x_n,f(x_n)) \to (x_{\infty},y_{\infty})\) allora \(y_{\infty}=f(x_{\infty})\), cioè abbiamo un’ipotesi sulla coppia, in particolare sappiamo già che le immagini convergono a qualcosa. Nel caso della definizione di continuità (valida in spazi metrici) sappiamo che se \(x_n \to x_{\infty}\) allora \(f(x_n) \to f(x_{\infty})\) che è più forte come condizione perché l’ipotesi è solo sulle \(x_n\).

Quello che vale in generale è che se hai \(f \colon X \to Y\) tra spazi topologici T2. Allora se il grafico di \(f\) è compatto in \(X \times Y\) (con la topologia prodotto) allora \(f\) è continua.

La questione è sottile, come giustamente osserva C_Paradise. Mi pare che durante la lezione ho commentato su questo, ma forse l'ho fatto solo a voce (per cui si sente nel video) e non scritto nel pdf perché era tardi. Se non sbaglio ho anche fatto il classico esempio di una funzione da R in R, ovviamente non lineare, che ha grafico chiuso ma non è continua.

Unica piccola aggiunta all'osservazione finale di C_Paradise è che l'equivalenza tra grafico chiuso e continuità si ha tutte le volte che lo spazio di arrivo Y è compatto (almeno in ambito metrico, sul topologico dovrebbe servire pure T2).