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Nel teorema di regolarità su tutto \(\mathbb{R}^d\), nel caso generale, alla fine si è trovato che si possono stimare le derivate discrete del gradiente di u. Questo, per la proposizione di caratterizzazione (enunciato precedente) implica che allora la derivata Sobolev corrispondente alla derivata discreta sta in \(L^2\). Tuttavia la stima della caratterizzazione stima la derivata discreta con la derivata Sobolev e non il viceversa, dunque mi chiedo come si possa ottenere la stima sulla derivata Sobolev \(\left\lVert D_{x_k}(Du)\right\rVert _2 \leq \left\lVert f\right\rVert _2\) a partire da quella sulla derivata discreta.

Una possibile risposta potrebbe risiedere nel fatto citato, ma non mostrato, che in realtà le derivate discrete convergono forte in \(L^2\)?

Non basterebbe usare il fatto che convesso + chiuso forte implica chiuso debole?

Oppure una volta che sai che sta in \(H^2\) puoi andare di approssimazione e usare le stime della lezione precedente?

Rifrasando le risposte già pervenute, direi che la dimostrazione nella lezione funziona.

I rapporti incrementali hanno norme equilimitate. I rapporti incrementali tendono debole alla derivata seconda debole. La norma è SCI debole. Pertanto le derivate seconde deboli hanno norma limitata.

La convergenza forte è un optional di cui, almeno qui, non si avverte la necessità.