Limite uniforme (sui limitati) di operatori compatti è compatto

[tommy1996q]

Avrei dei dubbi riguardo la dimostrazione per cui se ho una successione di operatori compatti \(\{f_n\}\) da uno spazio normato \(X\) a uno spazio metrico \(Y\) completo che tendono, uniformemente sui limitati, a una certa \(f\), allora quest'ultima è un operatore compatto.
Nella dimostrazione si fa uso della caratterizzazione dei relativamente compatti, per cui servirebbe che per ogni \(r>0\) esista un compatto \(K_r\) che disti meno di \(r\) da \(f(A)\), dove con \(A\) si indica un insieme limitato di \(X\). Tuttavia, nella dimostrazione, si fa uso della totale limitatezza di \(f_n (A)\), ma non si menzionano compatti. Credo che si possa facilmente risolvere questo punto andando semplicemente a considerare un compatto che sta vicino a \(f_n(A)\) e poi sfruttare la convergenza uniforme.
Quello che non capisco è come mai, dato che \(Y\) è completo, si possa affermare che basti lavorare con insieme totalmente limitati. Il teorema in cui entrano in gioco completezza dello spazio (di tutto, però) e totale limitatezza è quello della caratterizzazione dei compatti in spazi metrici, ma non mi sembra che serva in questo caso, dato che stiamo lavorando con relativamente compatti.

[C_Paradise]

Non so se è ho capito bene il tuo dubbio, comunque la chiusura di \(f_n(A)\) è compatta e quindi totalmente limitata, d’altra parte un insieme è totalmente limitato se e solo se lo è la sua chiusura e quindi anche \(f_n(A)\) è totalmente limitata..

[Massimo Gobbino]

Anch'io non ho capito bene dove sta il problema. Infatti

Nella dimostrazione si fa uso della caratterizzazione dei relativamente compatti, per cui servirebbe che per ogni \(r>0\) esista un compatto \(K_r\) [...]

ma nella caratterizzazione basta in realtà totalmente limitato.

[tommy1996q]

Ecco, non avevo segnato che bastasse la totale limitatezza. Quindi vale che in uno spazio metrico completo, le nozioni di relativa compattezza e totale limitatezza si equivalgono?
(Sicuramente se non ho la completezza questo non è vero, basti pensare a \(\mathbb{Q} \cap (0,1)\))

[Albus23]

Quindi vale che in uno spazio metrico completo, le nozioni di relativa compattezza e totale limitatezza si equivalgono?

Riepilogo per futuri lettori: Nel teorema di relativa compattezza in spazi Lp non si è mostrato che la famiglia approssimante è compatta bensì solo relativamente compatta. In effetti nel teorema precedente si era detto che bastava la totale limitatezza.
Ma nel caso di un metrico COMPLETO è equivalente alla relativa compattezza.
La dimostrazione è facile usando i risultati per spazi metrici e il fatto che chiuso in completo è completo, l'unica cosa da osservare è quello che ha detto C_paradise, cioè che un insieme è totalmente limitato sse lo è la sua chiusura.

[Massimo Gobbino]

in uno spazio metrico completo, le nozioni di relativa compattezza e totale limitatezza si equivalgono?
(Sicuramente se non ho la completezza questo non è vero, basti pensare a \(\mathbb{Q} \cap (0,1)\))

O pensare a (0,1) e basta .

[tommy1996q]

O pensare a (0,1) e basta .

In effetti

[aleM]

In questo teorema l'ipotesi di convergenza uniforme sui limitati è veramente necessaria, ad esempio in un Hilbert le proiezioni \(p_n\) sui sottospazi \(span(e_1,...,e_n)\) sono compatte, tendono all'identità solo puntualmente, ed infatti l'identità non è compatta, corretto?

[Massimo Gobbino]

Icorretto?

Corretto.

Bonus question: quelle proiezioni convergono uniformemente sui compatti?

[aleM]

Direi di sì, con dimostrazione simile a quella del teorema di approssimazione di operatori compatti in Hilbert (separabili), sempre della lezione 49: in quel caso avevamo \(f\) operatore compatto e dimostravamo che le \(p_n f\) lo approssimano uniformemente sui limitati. Il punto chiave era che dato un limitato, \(f\) lo trasforma in un relativamente compatto, quindi tot. lim.

Nel caso delle sole \(p_n\), \(f\) è l'identità e non è compatta, ma se prendiamo direttamente un compatto in partenza, l'immagine tramite \(f\) è già compatta di suo, quindi di nuovo tot. lim. e si può partire con la stessa dimostrazione, stavolta ottenendo che \(p_n \rightarrow id\) uniformemente sui compatti.

[fra_ppa]

Vorrei riaprire la discussione su questo argomento per aggiungere un dettaglio all'enunciato del Corollario 1 di Lezione 49/19-20 (e vedere se ho capito il punto). Il Corollario afferma che

Un operatore fra spazi normati (e si sottolinea entrambi normati) è compatto se e solo se è limite uniforme sui limitati di una successione di operatori compatti con immagine finito-dimensionale.

L'implicazione solo se segue dal Lemma di proiezione non lineare e non richiede altre ipotesi. Invece, nell'implicazione se serve anche l'ipotesi di completezza di Y, almeno per come l'abbiamo dimostrata a lezione.

Qualcuno sa costruire un controesempio? Oppure, l'ipotesi di immagine finito-dimensionale mi permette di fare a meno della completezza?

[fra_ppa]

Secondo me la completezza serve. Se Y non è completo, allora esiste una successione di Cauchy che non ammette sottosuccessioni convergenti a elementi di Y (Y è metrico, quindi Cauchy+sottos. convergente mi garantirebbe l'esistenza di un limite). Tale successione è un sottoinsieme totalmente limitato, ma non relativamente compatto. La chiamo \(\{y_m\}\). Sia \(\{x_m\}\subset X\) una successione limitata.

Definisco \(f_n:X\to Y\) come

\(f_n(x)=\begin{cases}
y_m & \text{se } x = x_m \text{ e } m\leq n, \\
0 & \text{altrimenti.}
\end{cases}\)
Tali operatori hanno immagine finita, dunque relativamente compatta.

Definisco \(f_{\infty}:X\to Y\) come

\(f_{\infty}(x)=\begin{cases}
y_m & \text{se } x = x_m, \\
0 & \text{altrimenti.}
\end{cases}\)
Quest'operatore non è compatto per come ho scelto le due successioni di punti, inoltre la convergenza della successione di funzioni è uniforme poiché \(\{y_m\}\) è di Cauchy.

Funziona?

[Massimo Gobbino]

Funziona?

La questione è molto interessante. Nessuno che sta studiando?

[Massimo Gobbino]

Vedo che nessuno dice nulla ... brutto segno . A me non è chiara la convergenza uniforme della successione di funzioni.

[fra_ppa]

Non c'è infatti nemmeno sui limitati. Ad esempio su \(B=\{x_m\}\) la successione

\(\sup_B ||f_{\infty}(x)-f_n(x)||_W = \sup_{m>n} ||y_m||_W \)

non può tendere a \(0\) per \(n\to \infty\), perché questo implicherebbe \(y_n\to 0\).