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Riporto il testo dell'esercizio.
Siano \(V\) spazio normato, \(B=\overline{B(0,1)}\), \(P_B\) la proiezione su \(B\) definita da:
\(P_B(v)=v\), se \(||v||\le 1\);
\(P_B(v)=\frac{v}{||v||}\), se \(||v||\ge 1\).

a) Dimostrare che per ogni \(v\in V\) \(||v-P_B(v)||\le||v-y||\) per ogni \(y\in B\);
b) Dare un esempio in cui \(P_B(v)\) non è l'unico punto di minimo;
c) Dimostrare che \(||P_B(v)-P_B(w)||\le 2 ||v-w||\) per ogni \((v,w)\in V^2\) e che la disuguaglianza è stretta per \(v\neq w\);
d) Dare un esempio dove la costante \(2\) della disuguaglianza precedente sia ottimale.

Vorrei capire se la mia soluzione parziale è corretta.

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a) Siano \(v\in V\), \(y\in B\). Supponiamo che \(||v||\le 1\).
\(||P_B(v)-v||=||v-v||=0\le||v-y||\)
Supponiamo invece che \(||v||>1\).
\(||v-P_B(v)||+1=||v-\frac{v}{||v||}||+||\frac{v}{||v||}||=||v(1-\frac{1}{||v||})||+\frac{||v||}{||v||}=(1-\frac{1}{||v||})||v||+\frac{||v||}{||v||}=(1-\frac{1}{||v||}+\frac{1}{||v||})v=||v||=\)
\(=||v-y+y||\le||v-y||+||y||\le ||v-y||+1\)
Semplificando si ottiene \(||v-P_B(v)||\le||v-y||\).

b) Basta prendere \(\mathbb{R}^2\) con la norma \(1\) e \(v=(1,1)\).
\(P_B(v)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)
\(||P_B(v)-v||=||(\frac{1}{2},\frac{1}{2})||=1\)
Prendo \(y=(\frac{1}{3},\frac{2}{3})\neq P_B(v)\).
\(||y||=1\), dunque \(y\in B\).
\(||v-y||=||(1,1)-(\frac{1}{3},\frac{2}{3})||=||(\frac{2}{3},\frac{1}{3})||=1=||P_B(v)-v)||\)

c) Sia \((v,w)\in V^2\).
Supponiamo \(v,w\in B\).
\(||P_B(v)-P_B(w)||=||v-w||\le 2||v-w||\)
L'ultima disuguaglianza è stretta se e solo se \(||v-w||\neq 0\), cioè se e solo se \(v\neq w\).
Supponiamo invece che \(v\in B\) ma \(w\not\in B\).
\(||P_B(v)-P_B(w)||=||v-P_B(w)||=||v-w+w-P_B(w)||\le||v-w||+||w-P_B(w)||\le||v-w||+||w-v||=2||v-w||\)
Osserviamo che l'uguaglianza vale solo se \(||v-w||=||P_B(w)-w||\) e se esiste \(\lambda\) tale che \(v-w=\lambda(w-P_B(w))\), da cui deduciamo che \(|\lambda|=1\). Se \(\lambda=-1\) allora \(v=P_B(w)\neq w\) e dunque si avrebbe la disuguaglianza stretta \(||P_B(v)-P_B(w)||=||v-P_B(w)||=||v-v||=0<2||v-w||\) e ciò è assurdo. Allora dev'essere \(\lambda=1\), per cui \(v-w=w-P_B(w)\). Dunque \(w=\frac{v+P_B(w)}{2}\).
Ma allora \(||w||=||\frac{v+\frac{w}{||w||}}{2}||=\frac{1}{2}||v+\frac{w}{||w||}||\le\frac{1}{2}(||v||+\frac{w}{||w||})=\frac{1}{2}(||v||+1)\le 1\) che è assurdo poiché \(w\not \in B\). Dunque l'uguaglianza non è mai verificata e ciò è in accordo con la tesi in quanto se \(v\in B\) ma \(w\not\in B\) si ha sempre \(v\neq w\).
Nell'ultima disuguaglianza abbiamo usato che \(v\in B\) e \(P_B(w)\) minimizza la distanza da \(w\) tra gli elementi di \(B\).
Supponiamo infine che \(v,w\not\in B\), e dunque \(||v||,||w||>1\). In particolare si avrà che \(\max{(||v||,||w||)}>1\).
\(||P_B(v)-P_B(w)||=||\frac{v}{||v||}-\frac{w}{||w||}||=||\frac{v}{||v||}-\frac{v}{||w||}+\frac{v}{||w||}-\frac{w}{||w||}||\le ||\frac{v}{||v||}-\frac{v}{||w||}||+||\frac{v}{||w||}-\frac{w}{||w||}||=\)
\(=\frac{1}{||w||}||\frac{||w||v}{||v||}-v||+\frac{1}{||w||}||v-w||=\frac{1}{||w||}||(\frac{||w||}{||v||}-1)v||+\frac{1}{||w||}||v-w||=\frac{1}{||w||}|\frac{||w||-||v||}{||v||}|||v||+\frac{1}{||w||}||v-w||\le\)
\(\le\frac{1}{||w||}||v-w||+\frac{1}{||w||}||v-w||=\frac{2}{||w||}||v-w||\)
In maniera del tutto analoga posso ottenere anche che \(||P_B(v)-P_B(w)||\le \frac{2}{||v||}||v-w||\).
Ma allora deve valere che \(||P_B(v)-P_B(w)||\le \frac{2}{\max{(||v||,||w||)}}||v-w||\le 2||v-w||\).
Osserviamo che l'ultima disuguaglianza è stretta se e solo se \(||v-w||\neq 0\) \(v\neq w\).

Non riesco a trovare un buon esempio per il punto d).
In tutto ciò che mi viene in mente la proiezione è 1-Lipschitz.

s.rotundo1 wrote: In tutto ciò che mi viene in mente la proiezione è 1-Lipschitz.

Tutto ciò è buffo. Pensa che la proiezione è 1-Lip se e solo se lo spazio è un Hilbert (tranne in dimensione 1 e forse pure 2)!

Comunque il controesempio si fa già in dimensione 2.