Raccolta di esercizi - Minimizing the distance from a point - Ex.4

[s.rotundo1]

Riporto il testo dell'esercizio.
Siano \(H\) Hilbert separabile, \(K\subseteq H\) chiuso, \(x_0\in H \setminus K\). Determinare se è vero che esiste \(z\in K\) t.c. \(||x-z||\le||x-y||\) per ogni \(y\in K\).

Vorrei sapere se la mia soluzione è corretta.

[+]

Forniamo un controesempio.
Sia \(K=\{e_n\}_n\) l'insieme degli elementi di una base hilbertiana. Ogni successione \((x_n)_n\) in \(K\) per cui esiste \(I\subseteq \mathbb{N}\) tale che \(\{e_i\}_{i\in I}\) sono elementi della successione frequentemente, o non ha limite o ha per limite uno degli \(e_i\) per \(i\in I\). Altrimenti si ha che la successione è tale che se \(n\neq m\), allora \(x_n\neq x_m\) definitivamente, per cui definitivamente diventa una sottosuccessione di un riordinamento della base hilbertiana originale, che è ancora una base hilbertiana, le cui sottosuccessioni non sono di Cauchy e dunque non hanno limite. Per cui i possibili limiti di successioni in \(K\) sono gli stessi elementi di \(K\). Questo ci dice che \(K\) è chiuso.
Sia ora \(x_0\in H \setminus K\), e sia \((y_n)_n\subseteq K\) una successione minimizzante. Questa non ammette sottosuccessioni convergenti, dunque non può essere convergente in \(K\), per cui non esiste alcun punto di minimo.

[C_Paradise]

Ciao! Non mi tornano le ultime due righe, ad esempio se prendo \(x_0=0\) ho che tutti i punti di \(K\) sono di minimo. L’esempio si dovrebbe sistemare prendendo \(K=\{(1+1/n)e_n\}_n\) e considerando sempre \(x_0=0\), ti convince? In ogni caso non sto dicendo che il tuo esempio non va bene, ma che quanto scritto nelle ultime due righe non sembra funzionare per 0..

[s.rotundo1]

Giusto! Avevo appena detto che \((y_n)_n\) può essere convergente solo ad elementi di \(K\). In effetti l'origine rovina tutto.
Ti ringrazio per il suggerimento.
Prendiamo \(K=\{(1+\frac{1}{n})e_n\}_n\).
Sia \((x_n)_n\subseteq K\) successione. Allora per ogni \(n\in \mathbb{N}\) si ha che esiste \(y_n\in \{e_n\}_n\) tale che \(x_n=(1+frac{1}{k(n)})y_n\) con \(k(n)\) tale che se \(y_n=e_k\) allora \(k(n)=k\).
\((y_n)_n\) è dunque una successione in \(\{e_n\}_n\).
Se esistono \(I\subseteq \mathbb{N}\) e \(\{e_i\}_{i\in I}\) tali che \(y_n\in\{e_i\}_{i_in I}\) frequentemente allora \((y_n)_n\) non ha limite e dunque non lo ha neanche \((x_n)_n\), oppure ha limite uguale a un certo \(e_i\) per \(i\in I\) (e pertanto si avrà anche \(k(n)\rightarrow i\)). In quest'ultimo caso \(||x_n-(1+\frac{1}{i})e_i||=||(1+\frac{1}{k(n)})y_n-(1+\frac{1}{i})e_i||\rightarrow 0\).
Se invece definitivamente si ha che se \(n\neq m\), allora \(y_n\neq y_m\), si può dedurre che \(||x_n-x_m||^2=||(1+\frac{1}{k(n)})y_n-(1+\frac{1}{k(m)})y_m||^2=||y_n-y_m+\frac{1}{k(n)}y_n-\frac{1}{k(m)} y_m||^2=\)
\(=||y_n-y_m||^2+||\frac{1}{k(n)}y_n-\frac{1}{k(m)}y_m||^2+<y_n-y_m,\frac{1}{k(n)}y_n-\frac{1}{k(m)}y_m>\ge||y_n-y_m||^2+\frac{1}{k(n)}+\frac{1}{k(m)}\ge 2\).
Per cui \((x_n)_n\) non può essere di Cauchy e dunque non può convergere.
Tutto ciò ci dice che \(K\) è chiuso.
Sia dunque \(x_0=0\) e sia \((x_n)_n\subseteq K\) una successione minimizzante. Qualora convergesse, convergerebbe a un certo \((1+\frac{1}{k})e_k\) con \(e_k\) della base hilbertiana.
Ma \(||x_0-(1+\frac{1}{k})e_k||=||(1+\frac{1}{k})||e_k||=1+\frac{1}{k}>1+\frac{1}{k+1}=(1+\frac{1}{k+1})||e_{k+1}||=||x_0-(1+\frac{1}{k+1})e_{k+1}||\), per cui abbiamo un assurdo.