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Riporto il testo dell'esercizio.
Sia \(p\in(1,+\infty)\) un numero reale. Consideriamo \(\mathbb{R}^2\) con la norma definita da \(||(x,y)||_p=(|x|^p+|y|^p)^{1/p}\) per ogni \((x,y)\in \mathbb{R}^2\)

a) Verificare che questa sia una vera norma su \(\mathbb{R}^2\);
b) Dimostrare che, per ogni \(K\subseteq \mathbb{R}^2\) chiuso non vuoto e per ogni \(x_0\in \mathbb{R}^2\) esiste \(z\in K\) che minimizzi la distanza da \(x_0\);
c) Determinare se i punti di minimo sono unici nel caso \(K\) si convesso;
d) Discutere le richieste precedenti per la norma \(||(x,y)||_\infty\).

Vorrei capire se la mia soluzione va bene.

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a) La positività e l'essere nulla solo per il vettore nullo sono ovvie.
Vediamo l'omogeneità:
\(||\lambda(x,y)||_p=||(\lambda x, \lambda y)||_p=(|\lambda x|^p+|\lambda y|^p)^{1/p}=\)
\(=(|\lambda|^p(|x|^p+|y|^p))^{1/p}=|\lambda|(|x|^p+|y|^p)^{1/p}=|\lambda|||(x,y)||_p\)
Vediamo la subadditività:
Sia \(p'=\frac{p}{p-1}\) l'esponente coniugato di \(p\).
\(||(x_1,y_1)+(x_2,y_2)||^p_p=||(x_1+x_2,y_1+y_2)||^p_p=(|x_1+x_2|^p+|y_1+y_2|^p)=|x_1+x_2||x_1+x_2|^{p-1}+|y_1+y_2||y_1+y_2|^{p-1}\le\)
\(\le|x_1||x_1+x_2|^{p-1}+|x_2||x_1+x_2|^{p-1}+|y_1||y_1+y_2|^{p-1}+|y_2||y_1+y_2|^{p-1}\le\)
\(\le(|x_1|^p+|y_1|^p)^{1/p}(|x_1+x_2|^p+|y_1+y_2|^p)^{(p-1)/p}+(|x_2|^p+|y_2|^p)^{1/p}(|x_1+x_2|^p+|y_1+y_2|^p)^{(p-1)/p}=\)
\(=(|x_1+x_2|^p+|y_1+y_2|^p)^{(p-1)/p}(||(x_1,y_1)||_p+||(x_2,y_2)||_p)=||(x_1,y_1)+(x_2,y_2)||^{p-1}_p(||(x_1,y_1)||_p+||(x_2,y_2)||_p)\).

Le disuguaglianze usate sono la triangolare per il valore assoluto e la disuguaglianza di Holder poi. A questo punto dividendo per \(||(x_1,y_1)+(x_2,y_2)||_p^{p-1}\) si ha la tesi.

b)Esiste \(r>0\) tale che \(C=\overline{B(x_0,r)}\cap K\neq \emptyset\). Osserviamo che \(C\) è limitato perché contenuto nella palla, e chiuso perché intersezione di chiusi. Dunque \(C\) è compatto. Osserviamo inoltre che le distanze da \(x_0\) dei punti di \(K\) fuori dalla palla devono essere per forza maggiori di \(r\), mentre quelle dei punti appartenenti alla palla sono minori o uguali a \(r\), dunque se esiste il minimo deve trovarsi nella palla e dunque in \(C\). Poiché \(C\) è compatto e la funzione \(y\mapsto||x_0−y||_p\) è continua, per il teorema di Weierstrass esiste il minimo su \(C\)e quindi su \(K\).

c) Per equivalenza delle norme, esiste una costante positiva $M$ tale che per ogni \((x,y)\in \mathbb{R}^2\) si abbia \(||(x,y)||_p\le M||(x,y)||_2\). Siano dunque \(P,Q\in K\) due punti di minimo e sia \(D\) tale minimo.
\(||P-Q||_p\le M||P-Q||_2\)
Osserviamo che la quantità \(\frac{P+Q}{2}\in K\), poiché \(K\) convesso.
Per l'identità del parallelogramma abbiamo:
\(||P-Q||^2_2=||P-x_0+x_0-Q||^2_2=2||P-x_0||_2^2+2||Q-x_0||^2_2-||P+Q-2x_0||^2_2=\)
\(=2||P-x_0||^2_2+2||Q-x_0||^2_2-4||\frac{P+Q}{2}-x_0||^2_2\le 2D^2+2D^2-4D^2=0\)
Dunque \(||P-Q||_p\le M||P-Q||_2=0\), per cui abbiamo unicità del punto di minimo.

d) Come prima, la positività e l'essere nulla solo per il vettore nullo sono ovvie.
Vediamo l'omogeneità:
\(||\lambda (x,y)||_\infty=||(\lambda x,\lambda y)||_\infty=\max{(|\lambda x|, |\lambda y|)}\)
Senza perdere di generalità suppongo che il massimo sia \(|\lambda x|\). Allora è vero che \(\max{(|x|,|y|)}=|x|\).
Allora \(||\lambda (x,y)||_\infty=|\lambda x|=|\lambda||x|=|\lambda||\max{(|x|,|y|)}=|\lambda|||(x,y)||_\infty.\)
Vediamo la subadditività:
\(||(x_1,y_1)+(x_2,y_2)||_\infty=||(x_1+x_2,y_1+y_2)||_\infty=\max{(|x_1+x_2|,|y_1+y_2|)}\le \max{(|x_1|+|x_2|,|y_1|+|y_2|)}\)
Supponiamo senza perdere di generalità che l'ultimo massimo sia dato da \(|x_1|+|x_2|\).
Allora \(||(x_1,y_1)+(x_2,y_2)||_\infty\le |x_1|+|x_2| \le \max{(|x_1|,|y_1|)}+\max{(|x_2|,|y_2|)}=||(x_1,y_1)||_\infty+||(x_2,y_2)||_\infty.\)
Per gli altri punti si procede in maniera analoga a una norma \(p\) generica.

Qui mi sarei aspettato vivaci proteste, e invece tutto tace .

Provo a dire qualcosa, il problema secondo me è che i punti \(P,Q\) che minimizzano in norma \(p\) non è detto che minimizzino anche in norma \(2\). Di conseguenza quando usi la regola del parallelogramma non si può dire che \(||P-x_0||_2 = D_2\) dove \(D_2=\min\{||Z-x_0||_2 : Z \in K\}\) perché sappiamo solo che \(||P-x_0||_p = D_p\) e anzi \(D_p\) e \(D_2\) possono essere diversi. In effetti se prendiamo \(K=[-1,1] \times \{0\}\) e \((x_0,y_0)=(0,1)\) tutti i punti di \(K\) sono punti di minimo rispetto alla distanza \(\infty\).

Un modo per dimostrare l’unicità del minimo quando \(p \in (1,\infty)\) è quello di usare che in questo caso la norma è strettamente convessa e quindi il punto medio se \(P,Q\) sono diversi è un competitor migliore. Questo fatto si dovrebbe riflettere sulla proprietà geometrica del bordo delle palle di non avere tratti “rettilinei” cioè di non avere punti di bordo che non sono estremali.

Colgo l’occasione per fare una domanda a cui non sono riuscito a rispondere. È sempre vero che se ho uno spazio con due norme che lo rendono di Banach e che sono equivalenti allora le sfere unitarie corrispondenti sono omeomorfe? E in caso affermativo si può trovare un omeomorfismo di tutto lo spazio che porta una sfera nell’altra? In dimensione finita mi sembra che la prima parte si possa dimostrare dicendo che due convessi compatti con parte interna non vuota sono omeomorfi..

Riguardo all’ultima domanda che ho fatto mi sono accorto che non è difficile e purtroppo me ne accorgo solo ora, comunque se le norme sono \(||\cdot||_1\) e \(||\cdot||_2\) allora la mappa che manda \(x\) in \(x \cdot ||x||_1/||x||_2\) se \(x \neq 0\) e che manda zero in zero dovrebbe andare bene..