Raccolta di esercizi - Minimizing the distance from a point - Ex.1

[s.rotundo1]

Riporto il testo dell'esercizio.
Siano \(d\) intero positivo, \(\emptyset\neq K\subset \mathbb{R}^d\) chiuso. Consideriamo su \(\mathbb{R}^d\) la norma euclidea.
a) Dimostrare che per ogni \(x\in \mathbb{R}^d\) esiste \(z\in K\) t.c.\(||x-z||\le||x-y||\) per ogni \(y\in K\);
b) Dare un esempio in \(\mathbb{R}^2\) nel quale il punto di minimo non è unico.

Vorrei capire se la mia soluzione va bene.

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a)Esiste \(r>0\) tale che \(C=\overline{B(x,r)}\cap K\neq \emptyset\). Osserviamo che \(C\) è limitato perché contenuto nella palla, e chiuso perché intersezione di chiusi. Dunque \(C\) è compatto. Osserviamo inoltre che le distanze da \(x\) dei punti di \(K\) fuori dalla palla devono essere per forza maggiori di \(r\), mentre quelle dei punti appartenenti alla palla sono minori o uguali a \(r\), dunque se esiste il minimo deve trovarsi nella palla e dunque in \(C\). Poiché \(C\) è compatto e la funzione \(y \mapsto ||x-y||\) è continua, per il teorema di Weierstrass esiste il minimo su \(C\)e quindi su \(K\).

b) Basta considerare come \(K\) il grafico della funzione valore assoluto in \([-1,1]\). Prendendo \(x=(0,1)\) si ha che ci sono due punti (simmetrici rispetto all'asse \(y\)) che risolvono il problema di minima distanza. Tali punti corrispondono appunto alle proiezioni ortogonali di \(x\) sulle rette \(y=x\) e \(y=-x\).

[Massimo Gobbino]

Vorrei capire se la mia soluzione va bene.

Mi sembra quasi impeccabile. A voler trovare il pelo nell'uovo, aggiungerei solo una parolina per giustificare che un tale r esiste.