Autovalori/autovettori del Laplaciano

[tommy1996q]

Non mi sembra il caso di aprire un thread solo per questo dubbio, quindi mi limiterei a scriverlo qui. Quando si studia il laplaciano come operatore diagonale, lo vediamo come l’inverso della doppia primitiva. Dopodiché, a seconda delle BC imposte, verranno diversi autovalori e autovettori. Ad esempio, nel caso di DBC su un intervallo, vengono come autovettori \(\sin(nx)\). Mi chiedevo se si potesse dire, a priori, che gli autovettori trovati costituiscono (opportunamente normalizzati) una base hilbertiana di \(L^2\). Direi di sì, visto che la doppia primitiva è lineare, simmetrica e compatta, e quindi per il teorema spettrale ammette una base ortonormale di autovettori (e dai conti i seni sono gli unici autovettori), ma non sono troppo sicuro del ragionamento.

[EDIT by Massimo Gobbino] Ho creato un nuovo thread, perché mi sembrava più razionale.

[tommy1996q]

Segnalo un fatto che mi sembra interessante. Se la questione sollevata dalla domanda fosse vera, a quel punto nell'esercizio in cui consideravamo gli autovalori e gli autovettori dell'inverso del laplaciano su \((0, 2\pi)^2\), che tornano \(\sin(nx)\sin(my)\) e \(n^2 + m^2\), avremmo che la densità di \(\{\sin(nx)\sin(my)\}\) in \(L^2\) discenderebbe non solo dal fatto che posso approssimare i rettangolini, maanche da considerazioni puramente teoriche. Questo potrebbe essere utile nel caso in cui abbia autovettori complicati (magari associati a domini balordi) il cui span risulterebbe denso direttamente dal teorema spettrale.

L'unico problema è che non saprei come dimostrare che, effettivamente, quelli che ho fornito sono i soli autovettori di \(- \Delta\). per ottenerli ho usato il metodo della separazione delle variabili, e non è detto, a priori, che tutti gli autovalori si possano scrivere a quel modo.

[Massimo Gobbino]

L'unico problema è che non saprei come dimostrare che, effettivamente, quelli che ho fornito sono i soli autovettori di \(- \Delta\). per ottenerli ho usato il metodo della separazione delle variabili, e non è detto, a priori, che tutti gli autovalori si possano scrivere a quel modo.

Infatti è proprio lì il punto.

In una variabile sappiamo dimostrare facilmente che tutti gli autovalori sono quei seni, e quindi per questioni teoriche il loro span è denso.

Sul quadrato sappiamo abbastanza facilmente che i prodotti dei seni spannano un denso (per la faccenda dei rettangolini) e quindi per questioni teoriche sono tutti e soli gli autovettori.

[tommy1996q]

Forse è il caso di esplicitare questa questione sui rettangolini, per vedere se ho capito cosa intende. Per rettangolini intende quei rettangolini la cui serie di Fourier si scrive con i soli seni? Oppure come si dovrebbe fare questa approssimazione?

[tommy1996q]

Il buon dalmol mi ha fatto notare che dovrebbe bastare approssimare gli intervallini in dimensione 1 e fare il prodotto. E io che sono andato a pensare alle serie di Fourier

[Massimo Gobbino]

Ma ... sono serie di Fourier!

Si approssima la funzione caratteristica di [a,b] in una variabile con una somma finita di seni nella variabile x. Poi si approssima la funzione caratteristica di [c,d] in una variabile con una somma finita di altri seni nella variabile y. Moltiplicando abbiamo approssimato il rettangolo [a,b]*[c,d] in due variabili con una somma finita di prodotti di seni, ed il gioco è fatto.

Pensavo si fosse capito