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Nella dimostrazione vista a lezione si fa un'induzione con ipotesi induttiva \(u \in L^{p + \frac{kd}{d-1}}=L^{q_k}\) e \(\|u\|_{L^{q_k}} \le c(p,d,k)\| \nabla u \|_{L^p}\) ma la seconda affermazione non è stata presa in considerazione nel passo base, ovvero non si è mai dimostrato che \(\|u\|_{L^{p}} \le c(p,d)\| \nabla u \|_{L^p}\). Quest'ultima cosa non mi sembra nemmeno vera visto l'argomento di riscalamento, come si fa a sistemare la dimostrazione?

Uhm, mea maxima culpa .

Direi che non si può sistemare la dimostrazione, e l'unica è sistemare l'enunciato nel modo ovvio ... cioè mettendo la full norm (funzione + derivata) nel RHS. Stessa cosa per le immersioni di ordine m. Grazie della segnalazione.

Quando si dice l'importanza del passo base nell'induzione .