Anche gli insiemi un po' più brutti hanno diritto a un 1-extender!

[tommy1996q]

Volevo cercare di aprire una discussione sulla possibilità che determinati insiemi (non necessariamente cilindri o insiemi con dominio regolare) ammettano un 1-extender.

In dimensione 1, è possibile estendere un intervallo a tutto \(\mathbb{R}\). Il metodo è spiegato sul Brezis, ma lo riporto per completezza. Supponiamo di avere una funzione \(u \in W^{1,p}(0,1)\). Considero ora la funzione \(\widetilde{u}\) che coincide con \(u\) sull'intervallo \((0,1)\) e vale 0 altrove. Moltiplicando per una cutoff \(\psi \in C^{\infty}\) che vale 1 fino a 1/4 e 0 da 3/4 in poi, si può dimostrare che \(\widetilde{u} \psi \in W^{1,p}(0, + \infty)\). A quel punto estendo per riflessione e ottengo una funzione di Sobolev su tutta la retta. Il ragionamento vale pure per \((1 - \psi) \widetilde{u}\), perciò sommando queste estensioni ottengo un 1-extender di \(u\).

Passiamo al caso in più dimensioni (facciamo in dimensione 2 per semplicità). Supponiamo di avere un quadratino. Estendendo 4 volte per riflessione (si guardi pag 254 del Brezis per la figura) si estende la funzione su un quadrato che contiene strettamente il quadratino di partenza. Moltiplicando per una funzione \(C^{\infty}\) che vale 1 sul quadrato piccolo e ha supporto contenuto nel quadrato grande, ecco che ho un'estensione su tutto \(\mathbb{R}^2\) (imponendo la sobolev estesa uguale a 0 fuori dal quadrato grande, ovviamente).

La domanda è: il primo approccio potrebbe funzionare in dimensione più alta? Supponiamo di avere il quadratino \(Q=(0,1) \times (0,1)\) e si consideri \(u \in W^{1,p}(Q)\). Definisco \(\widetilde {u}(x,y)\) uguale a \(u(x,y)\) se \((x,y) \in Q\), mentre uguale a 0 se \(x \in (0,1)\) e \(y \geq 1\). A questi punti considero \(\psi(x,y)=\psi(y)\) come nel caso di dimensione 1, e dovrei avere che \(\psi \widetilde{u} \in W^{1,p}((0,1) \times \mathbb{R})\). Faccio la stessa cosa con \((1 - \psi)\widetilde{u}\). A questo punto ottengo un’estensione tutta una striscia verticale. E con un altro passaggio in direzione delle ascisse estendo su tutto il piano.

Non mi sembra che si usi né che l’insieme sia limitato né che il bordo abbia qualche particolare regolarità. Alla fine l’estensione per riflessione dovrebbe tornare grazie alla scelta opportuna dell’estensione e usando argomenti di approssimazione (moltiplicare per una cutoff e usare convergenza dominata). Allo stesso modo dovrebbe tornare l’altra estensione usando la moltiplicazione per la \(\psi\). Non dico che dovrebbe venire su tutti gli insiemi, ma ad esempio per domini semplici (cioè sottografici) di funzioni positive dovrebbe tornare, ed anche su insiemi non limitati. E francamente mi sembra troppo bello per essere vero.

Nel caso, dov’è che il castello di carte crolla? Inoltre usando le estensioni “per riflessione” con i giusti coefficienti mi sembra che in questo modo si possano ottenere m-extender forti su tutto lo spazio (altro motivo per cui mi sembra decisamente “troppo bello per essere vero”).

Se invece fosse tutto giusto, quali sarebbero alcuni esempi di domini dove questo ragionamento non funziona, e perché?

Si apra il dibattito!

[Massimo Gobbino]

Beh, Sobolev-parlando, un rettangolo è uno degli insiemi più belli che ci siano!

L'esempio del quadrato riflesso 4 volte è molto bello ed istruttivo, e purtroppo mi sono dimenticato di farlo a lezione . Per la referenza direi che è alla sezione 9.2 del Brezis, visto che il numero di pagina dipende dall'edizione che uno usa.

In generale, non voglio dire che un 1-extender non si nega a nessuno, ma per lo meno non è così dura avercelo. Visto che la sezione degli esercizi sugli extender è una delle poche che si trova ad un livello decente di avanzamento, consiglierei di partire da quelli per farsi un po' di casistica. E poi anche nel compito del nuovo anno c'è un extender .

[tommy1996q]

Credo di aver risolto il punto b dell'ultimo esercizio della new-year edition. Come pensavo, quella cuspide crea parecchi problemi. Posto quello che credo sia un controesempio qua sotto.

[+] Es_4_NYE

Considero la funzione \(f(x,y)=\frac{1}{x^{100}}\), e dico che appartiene a \(W^{1,3}(\Omega)\). Infatti sia lei che la sua derivata appartengono a \(L^{3}(\Omega)\). Allora non può esistere un 1-extender. Se esistesse, per immersione avrei che l'estesa di \(f\) sarebbe continua, mentre in 0 evidentemente non lo è.

[Massimo Gobbino]

Diciamo che questo esercizio dovrebbe chiarire quali sono i peggiori nemici degli 1-extender. Un altro esempio, analogo a dire la verità, si trova nella terza scheda di esercizi sulle estensoni.

[+] Grandi_Nemici

Cuspidi e restringimenti.

Questi sono solo esempi basic di come la geometria del dominio può influenzare le immersioni di Sobolev. Volendo, si potrebbe dimostrare che nel dominio del NYE--4 valgono le immersioni con esponenti diversi, che tengono conto di "quanto si stringe il dominio in quella cuspide".

[tommy1996q]

Restringimenti in che senso? Per quanto riguarda il discorso delle cuspidi, il fatto che dipenda da quanto si stringe il dominio si può vedere dal fatto che (mi corregga se sbaglio) i triangoli si estendono. Il motivo dovrebbe essere questo:

[+] Ext_triangoli

Ogni triangolo è affine a un triangolo rettangolo di cateti lunghi 1 e lungo gli assi. A questo punto rifletto due volte per avere un quadrato (rombo). A meno di ruotare e riflettere un altro po’ di volte come fa Brezis (e la riflessione non dovrei aver problemi a farla, anche in presenza di cuspidi eventualmente), si può estendere. Da notare il fatto che i cambi di variabili usati preservano la sobolevità

P.S. Non mi funziona lo spoiler, ho provato 10 volte ma non capisco cosa non gli vada bene

[Massimo Gobbino]

P.S. Non mi funziona lo spoiler, ho provato 10 volte ma non capisco cosa non gli vada bene

[+] Cosa_non_gli_va_bene

I maledetti computer di oggi, specie i mac, fanno quello che vogliono loro, non quello che vogliamo noi .

Sicuramente hai abilitato la funzione "smart quotes", che sostituisce i doppi trattini della tastiera con dei trattini strani (aperti e chiusi), che il BBCode non sa interpretare (ci vuole un occhio di lince per vedere la differenza, ma guarda bene!). Disabilita quella funzione, altrimenti avrai problemi in tutti i programmi che richiedono quei simboli (ad esempio tutti i linguaggi di programmazione).

Certo tutti i triangoli ammettono un extender, così come tutti i domini con bordo Lipschitz (basta un ulteriore passaggio di approssimazione rispetto alla dimostrazione che abbiamo visto nel caso smooth). La cosa buffa è che tu abbia bisogno di due passaggi di riflessione per passare da un triangolo rettangolo "canonico" ad un quadrato .

I restringimenti sono i domini che diventano sottili all'infinito, come quello dell'ultimo esercizio delle schede sugli extender. La mera riflessione, ovviamente, non è mai problematica.

[tommy1996q]

Grazie dell’aiuto con lo spoiler, non ci avrei mai pensato! (anche perché non ho odea di cosa sia lo “smart quotes”, ma vabbè).

Tornando alla matematica, effettivamente riflettere rispetto l’ipotenusa sarebbe più furbo
Per quanto riguarda i domini lipshitziani, si riferisce ad esempio al caso del sopragrafico di \(\sin(x)\)? In quel caso si manda tutto in una striscia e si estende quella direttamente su tutto il piano, in modo analogo a come sul Brezis si estende un intervallo (Teorema VIII.5), o almeno credo si faccia così.

Supponiamo invece di avere il solragrafico di una parabola (dovrebbe essere un esercizio della raccolta). Ovviamente non ho lipshitzianità, e direi che non si può estendere, ma non riesco a trovare un controesempio in questo caso. Penso che i problemi dovrebbero nascere all’infinito, ma non trovo controesempi.

[Massimo Gobbino]

Per quanto riguarda i domini lipshitziani, si riferisce ad esempio al caso del sopragrafico di \(\sin(x)\)?

Mi riferisco a qualunque cosa che sia localmente sopra/sotto/destra/sinistra grafico di una funzione Lipschitz (cosa che tecnicamente si traduce nell'essere bi-Lipschitz, anziché diffeomorfi, al semicubetto canonico). Ad esempio tutti i poligoni rientrano in questa classe, mentre le cuspidi non ci rientrano.

[tommy1996q]

Mi riferisco a qualunque cosa che sia localmente sopra/sotto/destra/sinistra grafico di una funzione Lipschitz (cosa che tecnicamente si traduce nell'essere bi-Lipschitz, anziché diffeomorfi, al semicubetto canonico). Ad esempio tutti i poligoni rientrano in questa classe, mentre le cuspidi non ci rientrano.

Bilipshitz non l’avevo mai sentito come termine...
Cioè, quello che mi turbava un attimo con le “figure spigolose” tipo poligoni è che con cambi di variabile C1 e con Jacobiana limitata in norma non dovrei essere in grado di levarmi di torno i punti angolosi (o almeno credo). Voglio dire, capisco che effettivamente se non ci sono problemi per triangoli e quadrilateri, verosimilmente non ce ne saranno per n-agoni in generale, ma non saprei come formalizzare la cosa.

[Massimo Gobbino]

quello che mi turbava un attimo con le “figure spigolose” tipo poligoni è che con cambi di variabile C1 e con Jacobiana limitata in norma non dovrei essere in grado di levarmi di torno i punti angolosi (o almeno credo).

Appunto. Non te li puoi levare di torno con cambi di variabili C1, ma puoi farlo con cambi bi-Lipschitz (che poi vuol dire Lipschitz con inversa Lipschitz). La teoria con questi cambi è praticamente la stessa del caso C1, solo con un passaggio di approssimazione in più.

Un'alternativa per i poligoni è scomporre tutto in triangoli.

[tommy1996q]

Ha per caso qualche esempio concreto facile, o qualche riferimento dove approfondire la questione? Non avendo mai usato cambi di variabile del genere volevo vederli fatti almeno una volta, magari applicati proprio al problema in questione. Per quanto riguarda la scomposizione in triangoli, proverò a pensarci, ma a occhio e croce direi che il problema più grosso è che quando si vanno a sommare le estensioni sui vari triangoli, in generale si ottiene una Sobolev su tutto il piano, che però non coincide con la funzione di partenza sul poligono. Credo, comunque, che sia abbastanza facile costruire delle estensioni a mano per cui, sommate, sul poligono coincidano esattamente con la funzione di partenza.

[Massimo Gobbino]

Non avendo mai usato cambi di variabile del genere volevo vederli fatti almeno una volta, magari applicati proprio al problema in questione.

Ma qual è il problema in questione?

Il caso standard di estensione Lipschitz è quello in cui si vuole 1-estendere a partire dal sopragrafico di |x|. Mi pare sia trattato in uno degli esempi in una delle schede di esercizi. Con l'ovvio cambio di variabili si manda nel semipiano superiore e poi si lavora lì.

In effetti i triangoli con i poligoni non funzionano benissimo. Molto meglio vederli localmente come specie di valori assoluti.

[aleM]

Faccio un breve riassunto sulla casistica della terza scheda degli esercizi sugli 1-extender da aperti \(\Omega\) a \(\mathbb{R}^2\), vediamo se ho ragionato bene:
Esercizio 1
(a) \(\Omega =\) quadrato. E' l'estensione del Brezis, ricordata nel primo commento del post.

(b) \(\Omega =\) triangolo. L'estensione esiste, basta ricondursi al triangolo rettangolo, riflettere rispetto all'ipotenusa e poi procedere come nel punto precedente, come detto anche in un commento precedente.

(c) \(\Omega =\) unione di tre quadranti del piano. Con una rotazione di \(\pi/4\) questo \(\Omega\) è il sottografico del valore assoluto di \(x\), quindi si può estendere come nell'ultimo esercizio della scheda precedente con \(Eu(x,y)=u(x,2|x|-y)\).

(d) \(\Omega =\) unione di due quadranti opposti. L'estensione non esiste. Consideriamo ad esempio la funzione \(u(x,y)\) che vale 1 sul primo quadrante e -1 sul terzo quadrante. Questa è sicuramente \(W^{1,p}(\Omega)\) per ogni \(p\), e se si potesse estendere, l'estesa sarebbe \(W^{1,p}(\mathbb{R}^2)\) per ogni \(p\), dunque ad esempio per \(p=3\). Quindi per immersione l'estesa sarebbe continua, ma ciò è assurdo perché in 0 non lo è.

(e) \(\Omega =\) unione di due semipiani \(\mathbb{R}\times (1,+\infty) \cup \mathbb{R} \times (-\infty,-1)\). Direi che l'estensione esiste, riflettendo rispetto a y=1 la parte \(\mathbb{R}\times (1,3/2)\) e rispetto a y=-1 la parte \(\mathbb{R}\times (-3/2,-1)\) e poi raccordando in modo opportuno le due parti riflesse, nella zona \(\mathbb{R} \times (-1/2,1/2)\). Non sono però sicuro che questa operazione di raccordo sia effettivamente sempre fattibile controllando gli integrali...

(f) \(\Omega =\) unione di due semipiani con lo stesso bordo \(\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x \neq y \}\). L'extender non esiste, come nel punto (d) consideriamo la funzione \(u(x,y) \in W^{1,3}(\Omega)\) che vale +1 su un semipiano e -1 sull'altro. Di nuovo l'estesa se esistesse dovrebbe essere continua, assurdo.

(g) \(\Omega =\) striscia \((0,1)\times \mathbb{R}\). L'estensione esiste: consideriamo la riflessione per parità rispetto all'asse y e rispetto alla retta verticale x=1, otteniamo una funzione \(W^{1,p}(\Omega')\) dove \(\Omega' = (-1,2)\times \mathbb{R}\). A questo punto estendiamo a 0 fuori da \(\Omega'\) e moltiplichiamo per una funzione cut-off \(C^{\infty}_c(\mathbb{R}^2)\)che vale 1 in \(\Omega\) e 0 fuori da \(\Omega'\). La funzione ottenuta dovrebbe essere \(W^{1,p}(\mathbb{R}^2)\).

(h) \(\Omega =\) sopragrafico di \(|\sin (x)|\). Il bordo è 1-lipschitz, dunque direi che l'extender esiste, riflettendo rispetto a \(|\sin(x)|\) con \(Eu(x,y) = u(x,2|\sin(x)|-y)\).

(i) \(\Omega =\) sopragrafico di \(|x|^{1/2}\). In questo caso c'è una cuspide, e la corrispondente zona di integrazione che va restringendosi si può sfruttare per trovare una funzione che sia ad esempio \(W^{1,3}(\Omega)\) ma che diverga nel vertice della cuspide, in modo che, assumendo per assurdo che l'extender esista, si trovi l'assurdo considerando l'estesa, che essendo \(W^{1,3}(\mathbb{R}^2)\), per immersione è continua, e invece non può esserlo nell'origine.
Se ho fatto bene i conti scegliendo \(u(x,y) = \dfrac{e^{-x^2-y^2}}{y^\alpha}\) con \(0<\alpha<2/5\), dovrebbe funzionare (l'esponenziale a numeratore serve per far convergere gli integrali per y che va a + infinito).

(j) \(\Omega =\) sottografico della parabola \(y=x^2\). Come si vede nell'esercizio 2 della scheda 2 sugli extender, la riflessione rispetto al grafico della parabola non funziona (se non sbaglio perché esplode la derivata dell'estesa rispetto a x). Il bordo non è lipschitz, e sarei portato a dire che in questo caso l'extender non esista, ma non ho trovato ancora controesempi...

(k) \(\Omega =\) sottografico di \(|x|^{1/2}\). Idem come il punto (j).

Esercizio 2
\(\Omega = \left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 : x>1, \; 0<y< \dfrac{e^{-2018x}}{x \log^2 x} \right\}\). Parto direttamente dal punto (c). Qui ci sono restringimenti del dominio che fanno sì che \(u(x,y)=e^x\) sia \(W^{m,p}(\Omega)\) per ogni \(m\) e per ogni \(p\leq 2018\). Se esistesse l'1-extender a tutto \(\mathbb{R}^2\) l'estesa di \(u\) sarebbe a sua volta, ad esempio, \(W^{1,3}(\mathbb{R}^2)\), dunque per immersione anche \(L^\infty\), assurdo.

(d) Dire se esiste un 1-extender da \(\Omega\) a...

\(\Omega' = \left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 : x>1, \; |y|< \dfrac{e^{-2018x}}{x \log^2 x} \right\}\). Direi che l'estensione da \(\Omega\) a \(\Omega'\) esiste, basta estendere per parità rispetto all'asse x.

\(\Omega'' = \left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 : x>1, \; y< \dfrac{e^{-2018x}}{x \log^2 x} \right\}\). In questo caso ho un punto interrogativo, sicuramente se si potesse poi estendere da \(\Omega''\) a \(\mathbb{R}^2\), ciò escluderebbe la possibilità di una estensione da \(\Omega\) a \(\Omega''\), ma qui mi sono fermato...

[Massimo Gobbino]

Intanto grazie per aver postato un esercizio. Se ognuno facesse così avremmo le soluzioni complete in pochissimo tempo. Ecco qualche commento.

Esercizo 1

(a) ok
(b) ok
(c) ok
(d) ok
(e) l'idea funziona: basta estendere per riflessione le parti con y in (1,2) e y in (-2,-1) e poi moltiplicare per una cutoff dipendente solo da y che si annulla in un intornino di y=0 e vale 1 fuori da (-1/2,1/2)
(f) ok
(g) ok
(h) ok
(i) l'idea è quella, non ho controllato i conti
(j) questo fa girare la testa

[+] aiutino

non è che si può considerare come unione di 3 domini con bordo Lipschitz? Uno vicino all'origine, diciamo con x in (-2,2), il cui bordo è Lipschitz rispetto all'asse x, e gli altri due, diciamo con x<-1 e x>1, con bordo ...

(k) questo onestamente è duro

[+] aiutino

Ruotiamo tutto in modo che la cuspide lasci fuori il semiasse positivo delle x. A questo punto consideriamo la funzione \(\theta\) delle coordinate polari. In quali spazi sta questa? Siamo davvero sicuri di poterla estendere? Nella cuspide si creerebbe una derivata pazzesca rispetto alla variabile y!

Esercizio 2

(c) L'idea è quella.
(d1) ok
(d2) Non si può riciclare l'idea del (c)?

[aleM]

Credo di aver capito l'idea per il punto (k): ruotando in quel modo e considerando come funzione l'angolo \(\theta\) delle coordinate polari, sul semipiano di destra, vicino all'origine, passando da una parte all'altra della cuspide la funzione ha un salto.

Provando a fare i conti aggiusto un po' la funzione per controllarne l'integrale senza modificare il comportamento vicino all'origine, e considero quindi \(\theta e^{-r^2}\).

Le derivate di questa dovrebbero avere problemi in zero, e se non ho sbagliato i conti lei sta in \(W^{1,p}(\Omega)\) solo quando \(p<2\). Ad esempio sta in \(W^{1,\frac{3}{2}}(\Omega)\). Se valesse l'estensione, l'estesa starebbe in \(W^{1,\frac{3}{2}}(\mathbb{R}^2)\) e per immersione in \(W^{1,\frac{3}{2}^*}(\mathbb{R}^2) = W^{1,6}(\mathbb{R}^2)\).

Il guaio è che nell'origine gli integrali relativi all'estesa si comportano come quelli della funzione di partenza, quindi l'estesa non può stare in \(W^{1,6}(\mathbb{R}^2)\).

Sul sottografico della parabola invece devo ancora pensarci...

EDIT: a parte le immersioni sbagliate, perché ovviamente si immerge in L e non in W, dovrebbe essere molto più semplice: la funzione \(\theta e^{-r^2}\) sta in \(W^{1,p}(\Omega)\) per ogni p, dunque se si potesse estendere, l'estesa sarebbe, per immersione, continua su \(\mathbb{R}^2\), assurdo