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Salve, non mi tornano i coefficienti necessari ad ottenere una 2 estensione per i cilindri. Per dirla meglio, a lezione avevamo visto che definendo \(Eu(x,y)=u(x,y) \ \ x \geq 0 \ \ au(-x)+b(-2x) \ \ x < 0$\)$, si otteneva una 2 estensione per a=3,b=-2. Ho provato a fare il conto in maniera piu' esplicita, ma non mi trovo. Provo a scrivere quello che ho fatto limitandomi al caso $1$-dimensionale per comodita', in quanto l'unico davvero rilevante:l'idea era vedere cosa succedeva nella regione $x <0$ a livello di derivate :li' si ha -au'(-x)-2bu'(-2x)=(Eu)'(x). Si ha quindi: \(\int_{\mathbb{R}}(Eu)'\psi dx= \int_{\mathbb{R}^+}u' \psi +\int_{\mathbb{R}^-}-au'(-x)-2bu'(-2x) \psi(x) dx .\) Occupiamoci solo del secondo addendo:cambiamo le variabili e dovrebbe tornare: \(\int_{\mathbb{R}^-}au'(-x)\psi(x)dx =\int_{\mathbb{R}^+}-au'(x)\psi(-x) dx\) e \(\int_{\mathbb{R}^-}-2bu'(-2x)\psi(x)=\int_{\mathbb{R}^+} -b u'(y) \psi(\dfrac{-y}{2}) dy\) , per cui la funzione da "ridurre a supp compatto" mi verrebbe \(\psi(y)-a\psi(-y)-b\psi(\dfrac{-y}{2})\)che mi porterebbe pero' al sistema \phi(0)=\phi'(0)=0 che non mi da' la coppia voluta.

Dove ho sbagliato? Grazie in anticipo

Ti torna, almeno a livello brutale, che

\(3u(-x)-2u(-2x)\)

è l'extender giusta? Per questo basta controllare che il suo valore in 0 e quello della sua derivata coincidono con quelli di u.

Anche formalmente mi pare che il conto torni. Facendo solo quello per la derivata seconda, si tratta di dimostrare che

\(\displaystyle\int_\mathbb{R}(Eu(x))''\cdot\varphi(x)\,dx=\int_\mathbb{R}(Eu(x))\cdot\varphi''(x)\,dx\)

per ogni \(\varphi\in C^\infty_c(\mathbb{R})\).

Ora con i classici cambi di variabili si ottiene che questa vale se e solo se

\(\displaystyle\int_\mathbb{R^+}u''(x)\cdot\psi(x)\,dx=\int_\mathbb{R^+}u(x)\cdot\psi''(x)\,dx\)

dove

\(\psi(x):=\varphi(x)+a\varphi(-x)+2b\varphi\left(-\dfrac{x}{2}\right)\)

Ora, come sempre, il problema è che la \(\psi\) non ha supporto compatto in \(\mathbb{R}^+\), e quindi l'uguaglianza di sopra non è immediata. Tuttavia, si verifica (ad esempio per approssimazione) che resta vera purché

\(\psi(0)=\psi'(0)=0\),

ma questo è esattamente quello che accade per i valori speciali \(a=3\) e \(b=-2\).

Sisi adesso mi torna grazie mille,stavo sbagliando proprio ad impostare le condizioni necessarie.

Ho provato a ripetere questo stesso conto per cercare di trovare un generico m-extender, si tratterebbe di dimostrare quindi che:

\(\int_{\mathbb{R}}(Eu(x))^{(m)}\varphi(x)dx=(-1)^m\int_{\mathbb{R}}Eu(x)\varphi(x)^{(m)}dx\) per ogni \(\varphi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R})\).

Ho quindi posto \(Eu= \sum_{k=1}^{m}a_ku(-kx)\) e procedendo con i cambi di variabile ho ottenuto \(\psi(x)=\varphi(x)+\sum_{k=1}^m a_k k^{m-1}(-1)^m\varphi(-\frac{x}{k})\). Analogamente al caso \(m=1\) per ottenere i coefficienti \(a_k\) è quindi sufficiente imporre \(\psi^{(n)}(0)=0\) per \(n=0,...,m-1\), così facendo si ottiene un sistema lineare di n equazioni in n incognite con matrice associata una matrice invertibile, il sistema ammette pertanto soluzione unica. Precisato questo, la mia domanda è la seguente: supponiamo io voglia ottenere sempre un m-extender, tuttavia anzichè imporre la condizione

\(\int_{\mathbb{R}}(Eu(x))^{(m)}\varphi(x)dx=(-1)^m\int_{\mathbb{R}}Eu(x)\varphi(x)^{(m)}dx\) per ogni \(\varphi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R})\)

impongo

\(\int_{\mathbb{R}}(Eu(x))^{(n)}\varphi(x)dx=(-1)^n\int_{\mathbb{R}}Eu(x)\varphi(x)^{(n)}dx\) per ogni \(\varphi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R})\) con \(n<m\) sempre con \(Eu(x)=\sum_{k=1}^m a_k u(-kx)\)

ossia, detto a parole, impongo che l'estesa ammetta derivata debole n-esima con \(n<m\); otterrò allora una certa \(\psi(x)\) con coefficienti \(a_k\) con \(k=1,...,m\) da determinare. Con gli ormai ben noti cambi di variabile ottengo quindi un sistema lineare di m equazioni in m incognite, risolubile con soluzione unica.
Svolgendo il conto con degli m ed n fissati mi sono però accorto che gli \(a_k\) sono differenti da quelli ottenuti con il conto svolto nella maniera classica, non riesco a giustificare questa cosa, avendo ottenuto dei ben determinati coefficienti con il conto classico (per intenderci quello con la derivata m-esima) mi aspetterei che questi coefficienti soddisfino a maggior ragione il conto con la derivata n-esima (dato che n<m), che invece risulta soddisfatto da ben altri coefficienti... dev'esserci un errore molto grossolano in quello che sto dicendo ma non riesco ad individuarlo.

Uhm, intanto le funzioni test al LHS e RHS devono essere le stesse ... magari correggi il post.

Poi faccio un po' fatica a seguire il ragionamento. La \(\psi(x)\) che si ottiene dipende dai cambi di variabile fatti strada facendo, i quali a loro volta dipendono da come uno ha definito Eu, e non dal numero di derivate alle quali puntiamo. L'unica cosa che dipende dal numero di derivate alle quali puntiamo è il numero di richieste sulla \(\psi(x)\), cioè quante sue derivate vogliamo che si annullino.

Per fare un esempio, nel caso del 2-extender trattato in qualche post precedente, imporre lo scarico delle derivate prime avrebbe portato alla stessa \(\psi(x)\) con l'unica richiesta del suo annullamento in 0, mentre imporre lo scarico delle derivate seconde porta alla richiesta che \(\psi(0)=\psi'(0)=0\).

O forse non ho capito la domanda?

La cosa carina e notevole è invece che le costanti che vengono fuori dalle condizioni su \(\psi\) sono le stesse che vengono fuori imponendo brutalmente che le derivate dell'estesa coincidano in 0 con le derivate della funzione originaria.

Acc... nel giorno del crash c'erano stati dei post successivi a questo in cui si chiariva il dubbio. Provo a riassumerli qui.

L'oggetto del contendere è questo. Sospettiamo che una certa formula rappresenti un 2-extender. Ci sono da fare due verifiche, e cioè che le derivate prime e seconde si scarichino bene su tutta la retta. Con i soliti cambi di variabile ci si riduce ad avere degli scarichi sui soli positivi, non più rispetto alla funzione test \(\varphi\) originaria, ma rispetto a delle nuove funzioni \(\psi_1\) e \(\psi_2\), diverse nei due casi.

Ebbene, non c'è nulla di male nel fatto che \(\psi_1\) e \(\psi_2\) siano diverse. Le richieste su di loro per avere lo scarico sui positivi sono diverse!

Per la \(\psi_1\), cioè quella che deriva dallo scarico delle derivate prime, serve che \(\psi_1(0)=0\), e questa condizione è verificata. Per la \(\psi_2\), cioè quella che deriva dallo scarico delle derivate seconde, serve che \(\psi_1(0)=\psi_1'(0)=0\), e pure questa condizione è verificata. Quindi siamo felici .