Limite uniforme (sui limitati) di operatori compatti è compatto

[Massimo Gobbino]

Visto che non interviene nessuno in questo thread interessante, provo a dare qualche aiutino io.

[+] Hint_Debole

L'idea di costruire la $f_\infty$ mandando degli $x_n$ limitati in una successione $y_n$ senza sottosuccessioni convergenti è buona, ma occorre scegliere bene gli $y_n$ in modo da renderla approssimabile.

[+] Hint_Medio

Potrebbe essere utile usare, al posto degli $y_n$ qualsiasi, le somme parziali di una serie assolutamente convergente ma non convergente.

[+] Hint_Pesante

Consideriamo un classico pre-Hilbert, ad esempio lo span di una base Hilbertiana $e_n$ in un Hilbert di dimensione infinita. Consideriamo la serie di $1/n^2 e_n$. Questa avrebbe tanta voglia di convergere, ma sfortunatamente non può, visto che abbiamo preso solo lo span e non la sua chiusura. Adesso consideriamo la funzione $f_\infty$ che ad ogni $x_n$ associa la somma parziale $S_n$ della serie. Non è difficile vedere che questa non è compatta, ma è approssimabile bene.

Per estendere l'hint precedente, potrebbe essere utile risolvere il seguente

[+] Esercizio

In ogni spazio normato V non completo esiste una serie che converge assolutamente ma non converge.