Scritti d'esame 2019

[gino]

Per la seconda domanda direi di sì nel senso che sia la forte $L^{27}$ che la debole $L^{34}$ implicano la debole $L^{27}$ (la debole $L^{34}$ vuol dire che $\int v_n \varphi \to \int v_\infty \varphi$ per ogni $\varphi \in L^{\frac{34}{33}}$ quindi in particolare per ogni $\varphi \in L^{\frac{27}{26}}$ che è la debole $L^{27}$), quindi concludo per unicità del limite debole.

(tutti i discorsi in $\Omega$ limitato)

[Massimo Gobbino]

abbiamo trovato $u_\infty$ che realizza il sup in $L^3$; non vorrei che $u_\infty \in H^1$?

Giusto. Anche qui meglio ricorrere ad un fatto generale. Se $u_n\to u_\infty$ in $L^{35}$ e $\nabla u_n$ è equi-limitato in $L^{51}$, allora $\nabla u_\infty$ esiste e sta in $L^{51}$.

La tecnica è classica: estraggo una sotto-successione in modo da far convergere i gradienti debolmente a qualcosa in $L^{51}$ (questo in realtà andrebbe fatto component-wise), e poi dimostro con il solito lemma (passaggio al limite nell'integrazione per parti) che il qualcosa è proprio il gradiente di $u_\infty$.

[Massimo Gobbino]

Sto correggendo lo scritto di giugno, e voglio segnalare un modo standard in cui quasi tutti stanno perdendo dei punti. Le parole convessità e stretta convessità della Lagrangiana non sono la panacea di tutti i mali, ed in particolare di esistenza ed unicità. Pensiamo ai funzionali

$F(u)=\displaystyle\int_a^b u'(x)^2\,dx,\qquad\qquad G(u)=\displaystyle\int_a^b \left(u'(x)^2+u(x)\right)\,dx.$

In entrambi i casi la Lagrangiana è convessa in (s,p) e strettamente convessa in p, ma senza BC nel primo caso ci sono problemi di unicità e nel secondo pure di esistenza.

Detto in termini pratici, l'unico modo per non perdere punti sulla parte di unicità è di esplicitare i conti. Quello basato sulla convessità non è un enunciato, ma un metodo, che si adatta a tanti problemi con BC diverse. Se uno dovesse scrivere un enunciato, ne dovrebbe in realtà scrivere una decina, e non ci sarebbe mai quello che serve nel caso in questione. Il metodo invece è sempre lo stesso, ma va adattato.

[gino]

Sto correggendo lo scritto di giugno, e voglio segnalare un modo standard in cui quasi tutti stanno perdendo dei punti. Le parole convessità e stretta convessità della Lagrangiana non sono la panacea di tutti i mali, ed in particolare di esistenza ed unicità..

Però se $F$ strettamente convessa e si è trovato $x_0$ tale che $\delta F(x_0,v)=0$ per ogni $v$ allora si può concludere esistenza e unicità giusto?

[Massimo Gobbino]

Però se $F$ strettamente convessa e si è trovato $x_0$ tale che $\delta F(x_0,v)=0$ per ogni $v$ allora si può concludere esistenza e unicità giusto?

Strettamente convessa in quali variabili? E se c'è pure la x come la gestiamo? Insomma, si fa prima a scrivere il passaggio chiave che a tirare fuori la versione dell'enunciato che si adatta al caso specifico.

[Massimo Gobbino]

Mi è stato segnalato che la soluzione dell'esercizio 3c del CS5 era delirante, nel senso che dimostrava tutt'altro rispetto a quanto richiesto nel testo. In effetti era vero .

Ora forse dovrebbe andare bene, ma ovviamente è meglio controllare (quel punto mi era venuto più difficile di quanto previsto). Grazie a chi ha fatto la segnalazione.

Ma davvero è sensato che ci sia voluto quasi un anno prima che qualcuno se ne accorgesse ?