Derivate deboli e primitive

[Lorececco]

In dimensione uno vale il discorso che le funzioni derivabili debolmente sono primitive delle proprie derivate deboli, e che dunque se \(u'\) è continua \(u\in C^1\). Abbiamo detto che in dimensione più alta non vale questo fatto, però non mi sono chiare alcune cose:
- il problema è dovuto alla definizione di primitiva per una funzione di più variabili?
- nel controesempio portato (Heaviside) \(u_{xy}=0\), però \(u_{xx}\) e \(u_{yy}\) non esistono: esiste un controesempio in cui anche queste ultime esistono eppure ho ancora problemi?

Grazie

[Massimo Gobbino]

Il messaggio di quell'esempio voleva essere: occhio che possono succedere cose strane.

Poi potremmo aggiungere: ma non così strane. Ad esempio dovrebbe essere vero (esercizio ) che se esiste \(u_{xx}\) allora per forza esiste \(u_x\). Poi però può accadere che \(u_{xx}\) sia bellissima, ad esempio pure nulla, senza che \(u_x\) sia molto bella, perché potrebbe dipendere in maniera buffa da y (altro esercizio).

Non ci sono inghippi mistici, ma il problema sta tutto in analisi 2. In che senso una funzione u è la "primitiva" di \(u_x\)? Provando a dare un senso a questa frase si vede che ci sono molti problemi quando siamo nell'ambito delle funzioni che a priori sono solo misurabili. Ad esempio, potremmo dire che

\(\displaystyle u(x,y)=u(0,y)+\int_0^x u_x(s,y)\,ds\)

ma immediatamente ci si accorge che u(0,y) potrebbe non avere molto senso.

Altro "esercizio": sarà vero che se \(u_x\) e \(u_y\) esistono e sono continue, allora u(x,y) è di classe \(C^1\) ? E sotto quali condizioni, date due funzioni v e w, possiamo trovare una u che le abbia come derivate parziali?

[Lorececco]

Grazie della risposta. Se le derivate deboli esistono tutte continue la funzione è \(C^1\), perché la low cost converge uniformemente. Per l'altra questione ho dei problemi... ho pensato di prendere le primitive rispetto a \(x\) delle approssimanti low cost di \(u_{xx}\) e di dimostrare che sono di Cauchy in un compatto \(K\subset\Omega\), ma porta a qualcosa? Mi sembra strano, perché non noto la differenza tra usare \(u_{xx}\) anziché \(u_{xy}\) (per la quale sappiamo non funzionare...)

[Massimo Gobbino]

dovrebbe essere vero (esercizio ) che se esiste \(u_{xx}\) allora per forza esiste \(u_x\).

In effetti è falsissimo . Basta pensare a roba del tipo u(x,y)=xg(y), con g orribile .

[Lorececco]

dovrebbe essere vero (esercizio ) che se esiste \(u_{xx}\) allora per forza esiste \(u_x\).

In effetti è falsissimo . Basta pensare a roba del tipo u(x,y)=xg(y), con g orribile .

Quanto orribile? Perché a occhio se \(g\in L^1_{loc}\) la derivata in x esiste ed è proprio g! (L'altra è zero)

[Massimo Gobbino]

Ops in effetti g non può essere orribile, perché altrimenti lo sarebbe pure f.

Allora qualche speranza c'è (che l'enunciato sia vero). Forse con i sempiterni rapporti incrementali?

[Lorececco]

Ops in effetti g non può essere orribile, perché altrimenti lo sarebbe pure f.

Allora qualche speranza c'è (che l'enunciato sia vero). Forse con i sempiterni rapporti incrementali?

Sembrano lo strumento adatto, eppure se vogliamo restare a livello di \(L^1_{loc}\) la mancata compattezza debole per \(p=1\) sembra indebolirne molto l'efficacia