Scritti d'esame 2020

[Giovanni Bruno]

Secondo me fai prima a esibire direttamente una u che funziona. Provo a darti un int: cerca una funzione radiale tipo \(u(x)=\frac{c}{|x|^\alpha}+d\). Buon lavoro nel sistemare l'esponente in modo che stia in \(\mathcal{W}^{1,p}\) ma non in \(\mathcal{L}^5\). c e d li usi per sistemare le condizioni al bordo. Ti faccio anche notare che c viene necessariamente positivo e questo ti aiuta ad avere più infinito.

La cosa che mi suscitava dubbi è che questa a priori non sta in \(C^{\infty}\) della palla no?

[stefanini.m]

Si ma una volta che hai che sta in \(\mathcal{W}^{1,p}\) approssimi \(C^{\infty}\) e stai attento a sistemare i vincoli con le approssimanti.

[Giovanni Bruno]

Si ma una volta che hai che sta in \(\mathcal{W}^{1,p}\) approssimi \(C^{\infty}\) e stai attento a sistemare i vincoli con le approssimanti.

Quindi poi più o meno è come avevo proposto io?

[stefanini.m]

Scusa se rispondo solo adesso ma ero al lavoro. Spero che di non aver fatto errori di conto, ma provo a tornare alla mia idea iniziale.
Prendiamo questa funzione \(u(x,y,z)=\frac{c}{(x^2+y^2+(z-1)^2)^{\alpha}}+d\). Spostando la singolaritá sul bordo guadagno la regolaritá sulla palla che volevo. Detto questo inizio prendendo un \(p=\frac{n+1}{n}\) (dopo facciamo vedere che un n buono si trova). Allora le richieste affiché u stia in \(\mathcal{W}^{1,p}\) dovrebbero essere:
\(2p\alpha -2<1\) per la parte di funzione
\(2p(\alpha +1)-p-2<1\) per la parte di gradiente
Da cui con la scelta del p fatta si ottiene: \(\alpha<\frac{2n-1}{2n+1}\)
Prendo allora \(\alpha=\frac{2n-1}{2n+2}\)
la condizione di non appartenenza a \(\mathcal{L}^5\) diventa:\(10\alpha-2\geq1\)
Ovvero:\(\frac{6n-14}{2n+2}\geq1\) e quindi riescia trovare un n buono abbastanza grande.

[Giovanni Bruno]

Scusa se rispondo solo adesso ma ero al lavoro. Spero che di non aver fatto errori di conto, ma provo a tornare alla mia idea iniziale.
Prendiamo questa funzione \(u(x,y,z)=\frac{c}{(x^2+y^2+(z-1)^2)^{\alpha}}+d\). Spostando la singolaritá sul bordo guadagno la regolaritá sulla palla che volevo. Detto questo inizio prendendo un \(p=\frac{n+1}{n}\) (dopo facciamo vedere che un n buono si trova). Allora le richieste affiché u stia in \(\mathcal{W}^{1,p}\) dovrebbero essere:
\(2p\alpha -2<1\) per la parte di funzione
\(2p(\alpha +1)-p-2<1\) per la parte di gradiente
Da cui con la scelta del p fatta si ottiene: \(\alpha<\frac{2n-1}{2n+1}\)
Prendo allora \(\alpha=\frac{2n-1}{2n+2}\)
la condizione di non appartenenza a \(\mathcal{L}^5\) diventa:\(10\alpha-2\geq1\)
Ovvero:\(\frac{6n-14}{2n+2}\geq1\) e quindi riescia trovare un n buono abbastanza grande.

Ora ricontrollo i conti, ma credo sia giusto.

Non avevo pensato di spostare la singolarità sul bordo in quel modo, ti ringrazio

[Massimo Gobbino]

Spostando la singolaritá sul bordo guadagno la regolaritá sulla palla che volevo.

Carina l'idea di spostare la singolarità sul bordo in modo da evitare il passaggio di approssimazione, che in ogni caso non sarebbe terribile comunque (anche se con una serie di piccoli dettagli che andrebbero sistemati).

Tra l'altro, non c'è ragione di scegliere p della forma indicata. Mi pare infatti che con questo approccio si arrivi al risultato completo, cioè che S(p) è finito se e solo se p>=15/8. In effetti la formulazione originaria del (3a) era di stabilire per quali p accade che S(p) è finito, seguito da un (3b) che consisteva nel calcolare il limite di S(p) per p che tende all'infinito. Ho poi optato per una formulazione più debole in modo da permettere approcci diversi, ad esempio anche quello per riscalamento. Non che sia stato un successone comunque ...

[Massimo Gobbino]

Mi pare infatti che con questo approccio si arrivi al risultato completo, cioè che S(p) è finito se e solo se p>=15/8.

Cerco di esplicitare il conto. Consideriamo

\(u(x)=d+\dfrac{c}{\|x-x_0\|^a}\)

dove \(x_0\) è il centro della palla o, ancora meglio, un punto del suo bordo. La condizione per stare in \(L^1\) è

\(a<3.\)

La condizione per stare in \(W^{1,p}\) è (quella sul gradiente è sempre la più restrittiva)

\(p(a+1)<3\)

Sotto queste ipotesi si trovano c e d per cui l'integrale di u e quello della potenza p del gradiente sono uguali a 5 (o a una qualsiasi altra coppia di numeri, ben inteso), come richiesto dal testo.

La condizione per non stare in \(L^5\) è

\(5a<3\)

Ora non dovrebbe essere difficile mostrare che si trova un valore di a che soddisfa le 3 condizioni se e solo se \(p<15/8\).

[stefanini.m]

Se solo l'idea di costruire quella funzione mi fosse venuta al compito

[Massimo Gobbino]

approcci diversi, ad esempio anche quello per riscalamento.

Provo ad esplicitare una dimostrazione per riscalamento che funziona per tutti i valori \(p<15/8\). Prendiamo una classica \(\varphi\in C^\infty_c(\mathbb{R}^3)\) che sia maggiore o uguale a 0 e abbia integrale della potenza p del gradiente uguale a 5. Ora riscaliamola del tipo

\(n^a \varphi(nx)\)

scegliendo come al solito l'esponente a in maniera tale che l'integrale della potenza p del gradiente non dipenda da n. Ora non dovrebbe essere difficile mostrare che l'integrale di questa tende a 0 per n tendente all'infinito. Possiamo allora porre

\(u_n(x)=c_n+n^a \varphi(nx)\)

scegliendo \(c_n\) in modo che l'integrale di \(u_n(x)\) sia uguale a 5. Per quanto osservato precedentemente, \(c_n\) tende a 5 diviso per la misura della palla, quindi ad una quantità positiva.

Quando andiamo ad elevare tutto alla quinta possiamo dunque minorare con

\(n^{5a} \varphi(nx)^5\)

Non ci resta ora che osservare che, se \(p<15/8\), il valore di a che abbiamo trovato fa divergere questo integrale.

Faccio notare che i due approcci proposti, cioè l'utilizzo di una potenza negativa della norma o di un riscalamento, sono i due classici argomenti per mostrare l'ottimalità degli esponenti coinvolti nelle immersioni di Sobolev. Quindi, in un certo senso, devono funzionare.

[Massimo Gobbino]

posto la mia soluzione dell'esercizio 4 del secondo appello.

Qualche commento su questa soluzione.

(a) Carina l'idea di usare la serie di Mengoli, ma ovviamente se ne poteva fare tranquillamente a meno. Basta osservare che C(1,0,0,0,0,...) non sta in \(\ell^1\).

(b) Soluzione classica. Direi che non si può fare diversamente.

(c) Come scritta non è completa. In questo modo infatti si dimostra solo che C è un operatore limitato, anzi 1-Lipschitz, da \(\ell^\infty\) in sé. Per concludere bisogna dimostrare, o meglio osservare (trattandosi in fondo del teorema delle medie di Cesaro), che l'operatore C manda lo spazio \(c\) in sé, cioè manda successioni convergenti in successioni convergenti.

(d) La soluzione proposta è corretta. La complicazione nasce più che altro dalla notazione, come sempre quando si ha a che fare con successioni di successioni. In questi casi io preferisco pensare le successioni come funzioni definite sui naturali, come ad esempio ho fatto alla lezione 12, invece di usare il doppio indice. Ovviamente però è solo una questione di gusti. Nel linguaggio delle funzioni, si tratterebbe quindi di considerare la "funzione" \(f_n\) che vale 1 nei primi n interi e poi sempre 0 (lo stesso discorso vale sostituendo 0 ed 1 con due qualunque valori diversi). Si osserva banalmente che queste "funzioni" sono equilimitare in \(\ell^\infty\). Non resta dunque che dimostrare che \(C(f_n)\) non ha sottosuccessioni convergenti in \(\ell^\infty\), cioè convergenti uniformemente se pensate come funzioni. Ora nella soluzione proposta si mostra che non esistono sottosuccessioni di Cauchy, imitando forse molte dimostrazioni viste a lezione. Qui si poteva forse osservare più velocemente che \(C(f_n)\) tende puntualmente alla funzione costantemente uguale ad 1, quindi ogni sottosuccessione convergente uniformemente dovrebbe convergere alla funzione costantemente uguale ad 1, il che non è possibile perché il limite all'infinito è sempre uguale a 0.

P.S. Non mi stancherò mai di ringraziare chi posta le soluzioni, perché in questo modo si possono commentare facendo un lavoro utile per tutti.

[Massimo Gobbino]

Veniamo ora alle dolenti noti dell'esercizio 2, quello in cui, con mio grande stupore, sono stati bruciati un gran numero di punti. Cercherò qui di commentare quanto emerso dalle soluzioni presentate.

La prima cosa da fare era scegliere la Lagrangiana, per la quale c'erano almeno due possibilità. La prima, e più gettonata, era

\(L(x,s,p)=\dfrac{p^2}{2}+s\log s-s\).

Una seconda possibilità era

\(L(x,s,p)=\dfrac{p^2}{2}+xp+s\log s\).

La seconda all'inizio potrebbe stupire, ma dopo un po' uno si accorge che

[+] scoperta

la seconda si ottiene dalla prima integrando per parti.

Molti hanno pensato bene di lasciare indicata la primitiva del logaritmo, chiamandola g(s). Non ho capito se sia stata una questione di pigrizia o di sboroneria ... In ogni caso lasciarla indicata non esime dal doverne indicare le proprietà essenziali, magari riassunte da un grafico. In questo caso i punti essenziali da specificare erano che si tratta di una funzione definita per s>0, ma estendibile con continuità anche per s=0, convessa, decrescente da 0 ad 1 e poi crescente da 1 in poi fino a divergere all'infinito. In particolare, g(s) assume minimo per s=1, e risulta quindi una funzione limitata dal basso.

A questo punto si può passare alla classica formulazione debole del problema in \(H^1\) con DBC e la condizione aggiuntiva che \(u(x)\geq 0\) in tutto l'intervallo. Senza quella condizione il problema di minimo non sta in piedi. Qualcuno si è premurato di dire all'inizio di tutto, prima ancora di introdurre la Lagrangiana, una frase del tipo "ovviamente u(x)>0 altrimenti il problema non ha senso". Una frase buttata così non serve a nulla, se poi la condizione non viene forzata nel problema di minimo. Siamo noi che dobbiamo richiederla, non lei che apparirà miracolosamente "perché altrimenti non ha senso nulla". Altri hanno messo nel problema di minimo la condizione u(x)>0, con disuguaglianza stretta, e questo è peggio ancora, perché non vedo come si possa anche solo pensare di ottenere compattezza dopo aver imposto una disuguaglianza stretta, se non fregandosene allegramente di verificare che (non) passi al limite. Faccio qui notare che il fatto che la primitiva g(s) del logaritmo si estenda con continuità fino a s=0 garantisce che potremo calcolare g(u(x)) imponendo solo che u(x) sia non negativa.

Molti, dopo aver scritto la formulazione debole, si sono premurati di dire che il funzionale può assumere il valore + infinito. Io questa affermazione non l'ho capita. Cosa può divergere?

Passiamo ora al punto successivo, cioè la compattezza. Se uno ha fatto le cose per bene fino a qui risulterà poco più che banale, visto che con la prima Lagrangiana si ha che

\(\dfrac{p^2}{2}+s\log s-s\geq\dfrac{p^2}{2}-A\)

da cui immediatamente la stima sulle norme delle derivate. Qui abbiamo usato che la primitiva del logaritmo è limitata dal basso. Con la seconda Lagrangiana vale che

\(\dfrac{p^2}{2}+xp+s\log s\geq\dfrac{p^2}{2}-x|p|+s\log s\geq\dfrac{p^2}{2}-2020|p|-A\geq\dfrac{p^2}{4}-B.\)

Qui abbiamo usato che la funzione \(s\log s\) è limitata dal basso. Occhio anche a quel valore assoluto, senza il quale la prima disuguaglianza è falsa, e al cambio di denominatore nell'ultima disuguaglianza.

Una volta ottenuta la stima sulle derivate, al solito modo si ottiene quella sulle funzioni grazie alle DBC, e poi come sempre si arriva ad Ascoli-Arzelà. Se uno ha fatto le cose per bene, questo è il momento di osservare che le DBC e la condizione di non negatività di u(x) passano tranquillamente al limite (mentre quella di positività non lo fa).

Siamo ora giunti alla SCI, ed è tutto standard, cioè SCI della norma per la parte di funzione e continuità nella parte di derivata. Qui serve ancora una volta che la g(s) è estendibile con continuità fino a s=0. Sulla parte di funzione si poteva anche provare ad usare la sola convessità della g(s), ma saremmo un po' border-line perché abbiamo a che fare con una funzione che non è definita su tutta la retta e quindi bisognerebbe un po' rifare quel lemma.

Finita la SCI, abbiamo l'esistenza di almeno un punto di minimo. Qualcuno si è avventurato a dire ora che è unico, calcolando matrici Hessiane e dicendo che erano definite positive per s>0, ma tanto la soluzione sta lì perché altrimenti nulla ha senso. Penso di aver commentato già a sufficienza su questo.

Mostrata l'esistenza di almeno un punto di minimo, qualcuno ha detto che chiaramente questo risolve ELE, ed il gioco è fatto. Altri, forse per farmi contento, hanno calcolato formalmente la derivata di F(u+tv), posto formalmente t=0, e verificato che veniva proprio ELE. Altri, ancora più cauti, hanno provato a scrivere che il calcolo è giustificato dal fatto che ovviamente tutto è equi-dominato, compreso il termine log(u+tv), perché "è tutto continuo" .

Ebbene, nulla di questo funziona! Se noi sappiamo solo che \(u(x)\geq 0\), non siamo nemmeno autorizzati a calcolare F(u+tv), perché questo potrebbe costringerci a calcolare g(roba negativa). Qualcuno potrebbe dire che si limita a t positivi e v positive, ma allora non può dedurre che la derivata è nulla. La verità è solo una: non si può partire con il calcolo fino a quando uno non sa che u(x) è strettamente positiva in tutto l'intervallo, dunque per compattezza è maggiore di una costante strettamente positiva su tutto l'intervallo. A quel punto per t sufficientemente piccoli (cioè vicini a 0) anche u+tv sarà maggiore di una costante strettamente positiva (ad esempio metà della precedente) in tutto l'intervallo, e quindi ci sono tutte le dominazioni che servono per fare il conto.

Come si dimostra che u(x) è strettamente positiva in tutto l'intervallo, quando invece abbiamo imposto (perché costretti) che fosse solo non negativa? Qui serve che u(x) è un punto di minimo, e si usa un classico argomento di troncamento, abbastanza evidente dopo che uno ha osservato all'inizio la convessità della g(s).

Insomma, le cose vanno fatte nell'ordine giusto, altrimenti non funziona nulla, e uno dà l'impressione di copiare da qualche parte il solito fil rouge del metodo diretto senza averci capito molto. Tra l'altro, c'era un esempio del tutto analogo all'inizio della lezione 24, visto che era accaduto qualcosa di analogo l'anno scorso.

[Giovanni Bruno]

Finita la SCI, abbiamo l'esistenza di almeno un punto di minimo. Qualcuno si è avventurato a dire ora che è unico, calcolando matrici Hessiane e dicendo che erano definite positive per s>0, ma tanto la soluzione sta lì perché altrimenti nulla ha senso. Penso di aver commentato già a sufficienza su questo.

Quindi arrivati qui come si può mostrare l'unicità? Bisognerebbe mostrare in qualche altro modo che la lagrangiana è strettamente convessa? Se si, come? Applicando la definizione?
Anche perché poi vorrei anche mostrare che ogni soluzione è punto di minimo, quindi la stretta convessità o qualcosa che mi possa permettere di dire "L'uguaglianza vale se e solo se \(u_0=u\)" mi servirebbe

[Giovanni Bruno]

Quindi arrivati qui come si può mostrare l'unicità? Bisognerebbe mostrare in qualche altro modo che la lagrangiana è strettamente convessa? Se si, come? Applicando la definizione?
Anche perché poi vorrei anche mostrare che ogni soluzione è punto di minimo, quindi la stretta convessità o qualcosa che mi possa permettere di dire "L'uguaglianza vale se e solo se \(u_0=u\)" mi servirebbe

È corretto dire che la Lagrangiana essendo somma di due funzionali "indipendenti" strettamente convessi, è strettamente convessa?

[Massimo Gobbino]

Certamente è corretto dire che la Lagrangiana è strettamente convessa nella coppia (s,p) in \([0,+\infty)\times\mathbb{R}\) perché somma di due funzioni strettamente convesse della variabile p e della variabile s, rispettivamente (btw, come si dimostra questo fatto?). Si noti che ho parlato di convessità nella coppia e che s=0 è incluso. Questo basta per entrambe le conclusioni.

Quello che non va bene è fare gli scrupolosi che affermano la convessità solo in \((0,+\infty)\times\mathbb{R}\) (si noti l'esclusione di s=0) e poi concludono perché u(x) (il punto di minimo prodotto dal metodo diretto) "banalmente" non si annulla.