Rellich-Kondrakov per p=1

[tommy1996q]

Nella dimostrazione di Rellich-Kondrachov per $p<d$ si usa il teorema di Ascoli Arzelà versione $L^p$. Quando si vuole dimostrare l’equicontinuità nel senso delle traslazioni, spezziamo l’integrale come fatto su $\Omega$ meno un compatto ben contenuto e su questo compatto, e rendevamo piccoli entrambi in norma $L^1$, per poi concludere con un argomento di interpolazione. Nel caso del termine dove integriamo su $\Omega \setminus \Omega_k$, però, la piccolezza viene dal termine $m(\Omega \setminus \Omega_k)^{1/p’}$, e nel caso $p=1$ non dovrebbe funzionare. A questo punto, non si potrebbe sistemare la cosa prendendo un’estensione della funzione e usando che $||u(x+h) -u(x)||_{\mathbb{R}^n} \leq ||\nabla u||_{\mathbb{R}^n} |h|$ ?

[Massimo Gobbino]

Boh, sì, ma uno non vorrebbe sempre dipendere dagli extender.

Forse si può più comodamente osservare che quella stima usa che u sta in $L^p$, e per immersione u non sta mai veramente solo in $L^1$.

Torna?

[tommy1996q]

Giusto! Non ci avevo proprio pensato!

[stefanini.m]

Sfrutto il post giá esistente per aggiungere due ulteriori dubbi:
1) Nel caso della stima in $\Omega_k$ si ottiene per le funzioni $C^{\infty}(\Omega)$. Perché poi suggerisce di concludere utilizzando l'approssimazione low-cost? Questa situazione non é l'ideale per usare Mayers-Serrin?
2) Per guadagnare il caso q generico usa una disuguaglianza di interpolazione (se non erro non dimostrata). Per curiositá si tratta di disuglianze sullo stile di Marcinkiewcz e Riesz-Thorin?

[Massimo Gobbino]

Precisiamo intanto il contesto: stiamo parlando della lezione 36 di IstAM_20, giusto?

1) Nel caso della stima in $\Omega_k$ si ottiene per le funzioni $C^{\infty}(\Omega)$. Perché poi suggerisce di concludere utilizzando l'approssimazione low-cost? Questa situazione non é l'ideale per usare Mayers-Serrin?

Intanto, mi raccomando, è Meyers-Serrin (senza alcuna lettera "a"). Poi, sì, ogni situazione è buona per usare Meyers-Serrin, visto che alla fine è equivalente alla definizione stessa di spazi di Sobolev. Detto questo, Meyers-Serrin è un risultato che richiede un'intera lezione (più almeno un'altra mezza di preparazione) per essere dimostrato, mentre quello low-cost è una semplice proprietà delle convoluzioni (dopo aver osservato che queste commutano con le derivate W-deboli). Per questo motivo, quando possibile senza eccessivi sforzi (cioè praticamente sempre), cerco di utilizzare solo il low-cost. Questa probabilmente è anche la ragione per cui Brezis nel suo libro dimostra solo il low-cost, e non il Meyers-Serrin.

2) Per guadagnare il caso q generico usa una disuguaglianza di interpolazione (se non erro non dimostrata). Per curiositá si tratta di disuglianze sullo stile di Marcinkiewcz e Riesz-Thorin?

Cosa intendi? La disuguaglianza citata dopo lo "slogan"? Quella che dice che, se una funzione sta in due spazi Lp, allora sta in tutti quelli intermedi? Non è stata dimostrata perché dovrebbe essere nota da corsi precedenti, trattandosi di una banale applicazione di Holder. O sbaglio?

[stefanini.m]

Chiedo Scusa per il punro 2) l'ho vista così e quell'alfa mi ha richiamato Riesz-Thorin senza pensare a Holder. Brutto vizio di pensare prima al peggio