Rellich-Kondrakov per p=1

[tommy1996q]

Nella dimostrazione di Rellich-Kondrachov per \(p<d\) si usa il teorema di Ascoli Arzelà versione \(L^p\). Quando si vuole dimostrare l’equicontinuità nel senso delle traslazioni, spezziamo l’integrale come fatto su \(\Omega\) meno un compatto ben contenuto e su questo compatto, e rendevamo piccoli entrambi in norma \(L^1\), per poi concludere con un argomento di interpolazione. Nel caso del termine dove integriamo su \(\Omega \setminus \Omega_k\), però, la piccolezza viene dal termine \(m(\Omega \setminus \Omega_k)^{1/p’}\), e nel caso \(p=1\) non dovrebbe funzionare. A questo punto, non si potrebbe sistemare la cosa prendendo un’estensione della funzione e usando che \(||u(x+h) -u(x)||_{\mathbb{R}^n} \leq ||\nabla u||_{\mathbb{R}^n} |h|\) ?

[Massimo Gobbino]

Boh, sì, ma uno non vorrebbe sempre dipendere dagli extender.

Forse si può più comodamente osservare che quella stima usa che u sta in \(L^p\), e per immersione u non sta mai veramente solo in \(L^1\).

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[tommy1996q]

Giusto! Non ci avevo proprio pensato!

[stefanini.m]

Sfrutto il post giá esistente per aggiungere due ulteriori dubbi:
1) Nel caso della stima in \(\Omega_k\) si ottiene per le funzioni \(C^{\infty}(\Omega)\). Perché poi suggerisce di concludere utilizzando l'approssimazione low-cost? Questa situazione non é l'ideale per usare Mayers-Serrin?
2) Per guadagnare il caso q generico usa una disuguaglianza di interpolazione (se non erro non dimostrata). Per curiositá si tratta di disuglianze sullo stile di Marcinkiewcz e Riesz-Thorin?

[Massimo Gobbino]

Precisiamo intanto il contesto: stiamo parlando della lezione 36 di IstAM_20, giusto?

1) Nel caso della stima in \(\Omega_k\) si ottiene per le funzioni \(C^{\infty}(\Omega)\). Perché poi suggerisce di concludere utilizzando l'approssimazione low-cost? Questa situazione non é l'ideale per usare Mayers-Serrin?

Intanto, mi raccomando, è Meyers-Serrin (senza alcuna lettera "a"). Poi, sì, ogni situazione è buona per usare Meyers-Serrin, visto che alla fine è equivalente alla definizione stessa di spazi di Sobolev. Detto questo, Meyers-Serrin è un risultato che richiede un'intera lezione (più almeno un'altra mezza di preparazione) per essere dimostrato, mentre quello low-cost è una semplice proprietà delle convoluzioni (dopo aver osservato che queste commutano con le derivate W-deboli). Per questo motivo, quando possibile senza eccessivi sforzi (cioè praticamente sempre), cerco di utilizzare solo il low-cost. Questa probabilmente è anche la ragione per cui Brezis nel suo libro dimostra solo il low-cost, e non il Meyers-Serrin.

2) Per guadagnare il caso q generico usa una disuguaglianza di interpolazione (se non erro non dimostrata). Per curiositá si tratta di disuglianze sullo stile di Marcinkiewcz e Riesz-Thorin?

Cosa intendi? La disuguaglianza citata dopo lo "slogan"? Quella che dice che, se una funzione sta in due spazi Lp, allora sta in tutti quelli intermedi? Non è stata dimostrata perché dovrebbe essere nota da corsi precedenti, trattandosi di una banale applicazione di Holder. O sbaglio?

[stefanini.m]

Chiedo Scusa per il punro 2) l'ho vista così e quell'alfa mi ha richiamato Riesz-Thorin senza pensare a Holder. Brutto vizio di pensare prima al peggio