Funzioni che stanno a malapena in W^{m,p}

[tommy1996q]

Nella lezione del 5/11 si dava un esempio di funzione che stava in \(W^{1,p}(\mathbb{R}^d)\) ma non in \(W^{1,q}(\mathbb{R}^d)\) con \(q>p\). La funzione è \(\frac{e^{-|x|}}{|x|^{\frac{d}{p} -1} |\log(x)|}\). Quando se ne calcola il gradiente, la sua norma elevata alla \(p\) dovrebbe essere una cosa del tipo \(\frac{e^{-p|x|}}{|x|^{d} |\log(x)|^p}\). Il problema è che andando a integrare mi verrebbe divergente. Probabilmente sto sbagliando una sciocchezza che però non riesco a individuare. Non ho capito, in particolare, cosa si intenda per \(|\log(x)|\), se la norma del vettore \(\log(x)\) o il logaritmo di \(||x||\).

Chiederei aiuto anche per un'altra questione: a un certo punto, in un altro esempio di minimalità, si faceva riferimento a \(\log(|\log(x)|)\). Questo me lo ricordo distintamente. Il problema è che ho spulciato per 3 volte tutti gli appunti e non ho trovato niente. Se qualcuno ha qualche indizio su dove si trovi quell'esempio, mi aiuterebbe non poco (ovviamente cancellerò quest'ultima parte una volta trovato)

[Massimo Gobbino]

Quell'esempio è un errore mio, veniale perché si corregge facilmente. Quella funzione ha il comportamento giusto nell'origine e all'infinito; il problema è l'annullamento del logaritmo anche in 1. Si rimedia facilmente considerando la funzione

\(\dfrac{e^{-\|x\|}}{\|x\|^{-1+d/p}(\log^2(\|x\|)+1)}\)

Aggiungendo 1 ed il quadrato nel denominatore si evita il problema quando \(\|x\|=1\), e si sistema anche il caso p=1.

Il doppio logaritmo è alla fine della lezione 30, e serviva per mostrare che le funzioni in \(H^1\) del disco nel piano possono non essere limitate. In realtà basta un logaritmo solo, purché elevato alla potenza opportuna. Nel disco in dimensione 2 la funzione

\(|\log(\|x\|)|^a\)

sta in \(H^1\)ma non è limitata per ogni \(0<a<1/2\). L'esempio si generalizza facilmente a tutte le dimensioni. La funzione

\(\log(|\log(\|x\|)|)\)

ha il pregio di andare bene in tutte le dimensioni (sta in \(W^{1,d}\) ma non è limitata).

[Firnen]

Il +1 aggiunto non dovrebbe essere nell'argomento del logaritmo? Grazie a questo esempio son stati costruiti i controesempi ( traslazioni e sistemazione degli indici) dell' esercizio 4 dello scritto 5? Come si riscalano precisamente e da dove nasce l'idea per il caso p<2 ?

[Massimo Gobbino]

Il +1 aggiunto non dovrebbe essere nell'argomento del logaritmo?

Perché lo vuoi aggiungere nell'argomento del logaritmo? La funzione di quell'1 è di evitare che il denominatore si annulli anche quando \(\|x\|=1\).

Grazie a questo esempio son stati costruiti i controesempi ( traslazioni e sistemazione degli indici) dell' esercizio 4 dello scritto 5? Come si riscalano precisamente e da dove nasce l'idea per il caso p<2 ?

Qui capisco poco la domanda. Le funzioni con potenze e logaritmi al denominatore tornano sempre utili quando si vuole stare "giusto giusto" in qualche spazio \(L^p\), come nei classici esercizi "trovare una funzione in (0,1) che sta in \(L^p((0,1))\) se e solo \(p\leq 77\) o se e solo se \(p<77\)".

Per quanto riguarda l'ultima domanda, mi pare che si riferisca all'esercizio 4a del compito 2019-5. Se è così, l'osservazione fondamentale è che su intervalli finiti che se ne stanno lontani da 0 le funzioni \(f(x)\) e \(f(x^4)\) hanno la stessa sommabilità, in quanto il cambio di variabili e la sua inversa hanno derivata limitata. Quindi è assurdo sperare che \(f(x^4)\) stia in \(L^2\) se \(f(x)\) non sta almeno in \(L^2\). Il controesempio è una qualunque funzione che non stia per pochissimo in \(L^2\), e quindi sta in tutti gli \(L^p\) precedenti. Questo porta ad usare \(\sqrt{x-1}\) al denominatore. L'aggiunta di \(x^2\) a moltiplicare serve solo per sistemare il problema all'infinito. La funzione

\(f(x)=\dfrac{e^{-x}}{|x-77|^{1/2}}\)

sarebbe andata ugualmente bene.