Riporto il testo dell'esercizio.
Sia \(\mathbb{R}^2\) con la norma definita da \(||(x,y)||_1=|x|+|y|\) per ogni \((x,y)\in \mathbb{R}^2\).
a)Verificare che sia una vera norma su \(\mathbb{R}^2\);
b)Dimostrare che per ogni \(K\subseteq \mathbb{R}^2\) chiuso non vuoto esiste \(z\in K\) che minimizzi la distanza da \((3,4)\);
c)Trovare l'insieme dei punti di minimo per i seguenti sottoinsiemi chiusi convessi:
1- \(K_1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | y=0\}\)
2- \(K_2=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | x+y=3\}\)
3- \(K_3=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | ||(x,y)||_1\le 8\}\)
4- \(K_4=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | ||(x,y)||_1\le 1\}\)
5- \(K_5=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | ||(x,y)||_1\le 6\}\)
a) La positività e l'essere nullo solo per il vettore nullo sono ovvie.
Vediamo l'omogeneità: \(||\lambda (x,y)||_1=|\lambda x|+|\lambda y|=|\lambda| (|x|+|y|)=|\lambda| ||(x,y)||_1\)
Vediamo la subadditività: \(||(x_1+x_2,y_1+y_2)||_1=|x_1+x_2|+|y_1+y_2|\le |x_1|+|x_2|+|y_1|+|y_2|=||(x_1,y_1)||_1+||(x_2,y_2||_1\)
b)Esiste \(r>0\) tale che \(C=\overline{B((3,4),r)}\cap K\neq \emptyset\). Osserviamo che \(C\)è limitato perché contenuto nella palla, e chiuso perché intersezione di chiusi. Dunque \(C\) è compatto. Osserviamo inoltre che le distanze da \((3,4)\) dei punti di \(K\) fuori dalla palla devono essere per forza maggiori di \(r\), mentre quelle dei punti appartenenti alla palla sono minori o uguali a \(r\), dunque se esiste il minimo deve trovarsi nella palla e dunque in \(C\). Poiché \(C\) è compatto e la funzione \(y \mapsto ||x−y||\) è continua, per il teorema di Weierstrass esiste il minimo su \(C\) e quindi su \(K\).
c)
1- Sia \((x,y)\in K_1\). Allora \((x,y)=(x,0)\). \(||(x,0)-(3,4)||_1=|x-3|+4\ge 4\)
L'uguaglianza vale se e solo se \(x=3\), dunque l'unico punto di minimo è il punto \((3,0)\).
2- Sia \((x,y)\in K_2\). Allora \((x,y)=(x,-x+3)\).
Basterà allora studiare i punti di minimo della funzione \(f(x)=||(x,-x+3)-(3,4)||_1=|x-3|+|x+1|\).
Per \(x\le -1\) vale \(f(x)=-2x+2\); per \(-1\le x \le 3\) vale \(f(x)=4\); per \(x\ge 3\) vale \(f(x)=2x-2\). Per la continuità di \(f\), dati i coefficienti angolari delle rette che la definiscono, deduciamo che \(f\) assume minimo per \(-1\le x \le 3\). Dunque l'insieme dei punti di minimo è \(\{(x,-x+3)\in \mathbb{R}^2 | -1\le x \le 3\}\)
3- Osserviamo che \((3,4)\in K_3\), dunque il minimo è pari a \(0\) ed è assunto solamente in \((3,4)\).
4- La retta \(y=-x+1\) divide \(\mathbb{R}^2\) in due semipiani, uno contenente il punto \((3,4)\) e l'altro contenente \(K_4\) (di fatto parte del bordo di \(K_4\) è contenuta nella retta). Se riusciamo a dimostrare che per ogni punto della parte interna del semipiano contenente \(K_4\) trovo un punto sulla retta di distanza da \((3,4)\) minore, allora avremo come conseguenza che i punti di minimo devono appartenere alla porzione del bordo di \(K_4\) che appartiene alla retta.
I punti appartenenti alla parte interna di cui sopra devono necessariamente appartenere a una retta di equazione del tipo \(y=-x+k\) con \(k<1\). \(||(x,-x+k)-(3,4)||_1=|x-3|+|x-k+4|>|x-3|+|x+3|=|x-3|+|x-1+4|=||(x,-x+1)-(3,4)||_1\)
Abbiamo dunque che i punti di minimo appartengono alla parte del bordo di \(K_4\) che sta sulla retta \(y=-x+1\), ovvero alla parte del bordi di \(K_4\) che sta nel primo quadrante (assi compresi).
Osserviamo adesso che ogni punto in tale porzione di bordo ha la stessa distanza da \((3,4)\).
Infatti, la parte di \(K_4\) interessata si estende per \(x\in[0,1]\). In tale intervallo la distanza risulta essere \(||(x,-x+1)-(3,4)||_1=|x-3|+|x+3|=-x+3+x+3=6\).
Pertanto concludiamo che l'insieme dei punti di minimo è \(\{(x,-x+1)\in \mathbb{R}^2 | 0\le x \le 1\}\).
5- Analogamente a quanto visto prima, i punti di minimo devono trovarsi sulla parte di \(K_5\) che interseca la retta \(y=-x+6\). Basterà dunque studiare la funzione \(f(x)=||(x,-x+6)-(3,4)||_1=|x-3|+|x-2|\) nell'intervallo \([0,6]\). Dallo studio delle rette che definiscono \(f\) e per la sua continuità, in maniera analoga al caso di \(K_1\) deduciamo che \(f\) ha minimo per \(2\le x \le 3\). Pertanto l'insieme dei punti di minimo è \(\{(x,-x+6)\in \mathbb{R}^2 | 2\le x \le 3\}\).
Non ho controllato i conti (un po' mi fido, un po' spero che altri lo facciano). Mi limito ad un paio di osservazioni, sperando che possano essere utili.
Nel punto (b) occorre qualche cautela quando si parla di "chiuso" e "compatto". Infatti ora c'è una norma strana, e qualche parolina andrebbe detta.
Nel punto (c), mi piace segnalare l'interpretazione geometrica. Pensiamo mentalmente alla famiglia di palle con centro nel punto dato e raggi crescenti. Ad un certo punto queste palle toccano l'insieme K. In quel momento di primo contatto i punti di intersezione sono i minimi richiesti.
