Dimostrazione disuguaglianza di Sobolev-Wirtinger

[tommy1996q]

La dimostrazione vista a lezione usa un argomento di minimalità, e usa il metodo diretto. Per la larte di compattezza, di usa la nozione di convergenza che richiede la convergenza debole del gradiente in \(L^p\). Il problema è che questa convergenza debole dovrebbe derivare dalla compattezza debole delle palle, che però abbiamo se \(p\neq 1\). Tuttavia la disuguaglianza dovrebbe valere pure se \(p=1\), dove non ho compattezza debole. Come me la cavo in questo caso?

[Massimo Gobbino]

Come me la cavo in questo caso?

Giusto, ottima osservazione. Grazie!

Direi che non te la cavi, almeno non per quella via variazionale basic, nemmeno in dimensione 1.

Capire il perché è molto istruttivo. Poi discutiamo delle vie d'uscita.

[Massimo Gobbino]

Nessuno interviene? Provo a dire qualcosa io.

[+] Fallimento_Variazionale

Perché l'approccio variazionale non funziona nemmeno in dimensione 1 se p=1? Perché il minimo non esiste! Non sarebbe male che qualcuno provasse a spiegare perché.

Come uscirne? Vedo almeno 3 modi.

[+] Uscita_1

Uno si impara la teoria degli spazi BV. Lì si dimostra facilmente che il minimo esiste, dunque il metodo variazionale lì funziona, e vissero tutti felici e contenti

Insoddisfatti del primo approccio?

[+] Uscita_2

Supponiamo che non esista la costante richiesta. Allora esiste una successione \(u_n\) (dove?) con

\(\|u_n\|=1\) e \(\|\nabla u_n\|\leq\dfrac{1}{n}\).

Ora si dimostra (esercizio facile) che a meno di sottosuccessioni \(u_n\to u_\infty\) (in quali spazi?) e che (esercizio leggermente meno facile, e sicuramente meno ovvio di come possa sembrare all'inizio) \(\nabla u_\infty\equiv 0\). Da qui è discesa totale (perché?).

E infine, perché non provare pure con un cannoncino?

[+] Uscita_3

Sia V lo spazio delle funzioni in \(W^{1,1}\) a media nulla. La norma dello spazio ambiente (1-norma di funzione + 1-norma di gradiente) lo rende un Banach. Ma anche la norma risparmiosa (solo 1-norma di gradiente) lo rende un Banach (questo non è ovvio, ma va dimostrato, perché anche i cannoni sono faticosi da usare). Ma allora ...

Tutto ok?

[tommy1996q]

Vediamo, per quanto riguarda il terzo approccio, a meno di dimostrare che sotto entrambe le norme è un banach, direi che basta

[+] Spiegazione_uscita_3

osservare che l'identità è una funzione lineare, continua e bigettiva, quindi l'inversa è anche lei lineare e continua, quindi Lipschitz. Allora le due norme sono equivalenti, e avrei finito.

[Massimo Gobbino]

La spiegazione forse è un po' contorta ... avute entrambe le Banach-ità basta usare

[+] rullo_di_tamburi...

il corollario per l'equivalenza di norme (la disuguaglianza da una parte è ovvia).

L'unica piccola seccatura è la verifica della Banach-ità rispetto alla norma risparmiosa.

[tommy1996q]

Provo a dare una dimostrazione anche dell'uscita 2.

[+] Dimostrazione_uscita_2

A meno di sottosuccessioni, le \(u_n\) tendono a una \(u_\infty\) in \(L^1\), per immersione compatta. Noto poi che le \(\nabla u_n\) sono una successione di Cauchy in \(L^1\), quindi per completezza convergono a una certa \(\nabla u_\infty\). Allora \(u_ \infty \in W^{1,1}\) (non dovrebbe essere complicato, basta prendere la sottosuccessione che realizza entrambe le convergenze, e stimare quella con funzioni \(C^{\infty}\)). Il fatto che \(\nabla u_\infty\) sia uguale a 0 dovrebbe seguire semplicemente dal fatto che:
\(|\nabla u_\infty || \leq || \nabla u_ \infty - \nabla u_n || + || \nabla u_n||\), e posso rendere entrambi gli addendi piccoli a piacere. Ora, per approssimazione deluxe (che ho grazie alla regolarità del dominio) approssimo la \(u_\infty\) in \(W^{1,1}\) con funzioni \(v_n \in C^{\infty}_0\) a media nulla (le posso prendere a caso, e poi aggiungere una costante per avere la media nulla). Ma essendo che \(\nabla v_n \to 0\) in \(L^1\), ho che le \(v_n\) devono tendere a una costante, che dovrà essere 0 per via della media nulla. ma allora \(u_ \infty=0\), assurdo perché limite di funzioni che hanno tutte norma 1.