Errori nelle lezioni 2018/19

[Massimo Gobbino]

Qui di seguito segnaleremo gli errori matematici, le imprecisioni e le cose dette male nelle lezioni 2018/19.

Partiamo con il bootstrap allegro alla fine della lezione 42, in cui si parla di regolarità per le soluzioni di \(\Delta u=\sin u\). L'argomento vale solo fino alla dimensione 4. Più dettagli nel post qui sotto:

http://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Forum ... 8958#p8958

[tommy1996q]

Ne approfitto per segnalare quello che credo sia un errore. All’inizio della lezione del 29/10, quando abbiamo enunciato il teorema di immersione per \(W^{m,p}\), abbiamo detto che nel caso \(mp >d\) avevamo holderianità per le derivate \(\beta\)-esime se \(|\beta| \leq m-h\). Non dovrebbe invece esserci un uguale?

[LucaMac]

Nella lezione 37 credo che l'integrazione per parti con la traccia abbia un segno sbagliato.

[Massimo Gobbino]

Nella lezione 37 credo che l'integrazione per parti con la traccia abbia un segno sbagliato.

Intendi nella formula a metà della penultima pagina, appena sopra la figura?

Sì, lì il termine di bordo (quello con la traccia) ha il segno sbagliato. Grazie della segnalazione.

[LucaMac]

Sì, intendo esattamente quello!

[tommy1996q]

Nell’enunciato del teorema di Ascoli-Arzelà versione \(L^p\), non dovrebbe essere la chiusura della famiglia a essere relativamente compatta?
EDIT: no ok, sono io che TUTTE le volte penso che relativamente compatto significhi compatto per successioni... prima o poi mi entrerà in testa

[Massimo Gobbino]

Come osservato da amerz in questo thread, le disuguaglianze di Sobolev, come enunciate durante il corso, non sono corrette nei casi border-line (p=d per l'ordine 1 oppure mp=d per l'ordine m).

Per essere corrette il RHS deve contenere l'intera norma con tutte le derivate fino all'ordine m, e non solo con quelle di ordine m.

Quindi alla fine le uniche disuguaglianze "pure", cioè con RHS che non ha l'intera norma, ma solo le derivate di ordine massimo, sono solo due:

• quella per la norma p* nel caso mp<d,
• quella per la costante di Holder nel caso pm>d.

I entrambi i casi si intende che siamo su tutto lo spazio o nella chiusura delle funzioni regolari nulle al bordo.

[gino]

All'inizio della lezione 54 nella dimostrazione che SCI forte più convessa implica SCI debole si può escludere a priori che \(\liminf \varphi(v_n)=-\infty\) ? La dimostrazione mi pare che funzioni uguale (quasi) comunque anche nel caso \(-\infty\) (che a posteriori non si può verificare)

[Massimo Gobbino]

si può escludere a priori che \(\liminf \varphi(v_n)=-\infty\) ?

Non si può escludere. In effetti quel caso andrebbe trattato, e si può fare in modo del tutto analogo a quello finito.