Exam papers 2022

[Massimo Gobbino]

Aggiungo qualche commento sull'ambientazione del secondo esercizio. Il valore +inf va incluso per colpa dell'esponenziale della derivata, non per colpa dell'integrale di \(u^4\). Infatti, essendo in dimensione 1, appena ci mettiamo in uno spazio di Sobolev le funzioni sono continue, dunque non ci sono problemi ad integrare loro potenze. Invece non c'è modo di assicurare che l'integrale di quell'esponenziale sia finito, almeno fino a quando si resta nell'ambito degli spazi di Sobolev.

Per quanto riguarda la formulazione in \(W^{1,4}\) (la notazione con H è piuttosto desueta quando c'è il "doppio esponente") occorre tenere conto che è estremamente pericolosa, come uno si rende conto molto presto andando avanti. La questione è discussa nei dettagli alla fine della Lezione 16 di IstAM_21.

[Massimo Gobbino]

Per quanto riguarda il punto (1b), in effetti la soluzione è molto rapida. Infatti sappiamo che il minimo deve verificare ELE, che in questo caso diventa

\(u''=u-x+\lambda\),

come si deduce al solito modo da FLCV a media nulla (o dai moltiplicatori di Lagrange, se uno la vuole sparare grossa). Basta ora osservare che nessuna funzione costante risolve questa equazione.

Ad essere precisini, ci si può chiedere qual è la regolarità dell'eventuale punto di minino che consente di ricavare questa ELE.

[Massimo Gobbino]

Per l'esercizio 3, mi pare che è stato già detto quasi tutto.

Se p<2, basta considerare multipli di una funzione fissa per avere la non limitatezza ovunque, quindi figuriamoci la compattezza.

Se p>2, usando Poincaré-Sobolev si ottiene che l'insieme è limitato in \(W^{1,p}\), e dunque relativamente compatto in \(L^q\) se q<p*. Per valori di q più grandi si ricicla abbastanza facilmente il controesempio all'immersione compatta.

Se p=2 le cose si fanno interessanti, perché i due termini hanno lo stesso grado di omogeneità, e quindi entrano in gioco le costanti di Poincaré, e dunque il raggio della palla (ricordo che la costante di Poincaré di una palla è direttamente proporzionale al quadrato del raggio). Dunque per raggi piccoli siamo messi come se fosse p>2, mentre per raggi grandi siamo messi come per p<2. Il raggio critico è leggermente più delicato. Perché? Da quale parte sta?

[Giovanni Bruno]

Il raggio critico è leggermente più delicato. Perché? Da quale parte sta?

Il vincolo diventa \(0\leq \|\nabla u \|_{L^2}^2-\|u \|_{L^2}^2 \leq 2\). Questo mi fa pensare che quantomeno l'insieme sia limitato, in \(L^2\), dato che ho anche un bound dal basso.

[Massimo Gobbino]

l vincolo diventa \(0\leq \|\nabla u \|_{L^2}^2-\|u \|_{L^2}^2 \leq 2\).

Un bound, anche bilatero, su una differenza serve a poco.

[Schrodingers_Bat]

Per rispondere all'ultima domanda, credo che l'esponente critico non garantisca compattezza. Per mostrarlo forse si può fare così: se esiste una funzione u tale che \(\|u\|_2=\|\nabla u\|_2\) basta moltiplicarla per \(n\) e ottenere una successione di funzioni la cui norma (qualsiasi) diverge. Se non è così possiamo comunque supporre che esista una successione di funzioni tali che \(\|u_n\|^2_2\ge(1-1/n)\|\nabla u_n\|^2_2\), altrimenti potremmo scegliere una costante di Poincaré migliore. Ora, a meno di riscalarle supponiamo che le norme dei gradienti siano unitarie. Adesso, per costruzione \(2n u_n\) continua a soddisfare la condizione integrale, ma la sua norma \(2\) quadra è almeno \(2n-2\). Dunque abbiamo una successione illimitata in \(L^2\), e perciò in ogni spazio \(L^q\) con \(q\ge 2\) (per Holder). Ha senso?

Al momento non so come procedere per i \(q\) più piccoli.

Mi sono reso conto che questa è una stupidaggine, non mi ricordavo che anche nel caso generale l'embedding compatto non vale se \(q=p^*\).

[+] domanda scema

Altra domanda: credo non sia stato discusso il caso in cui \(p\) è generico e \(q=+\infty\). L'unico problema che ho riscontrato sorge se \(p=3\), caso in cui riesco a ottenere la limitatezza in \(W^{1,3}\) ma non posso ripetere la dimostrazione del caso generale perché non posso ricorrere all'embedding di Sobolev. Idee?

[Giovanni Bruno]

Per rispondere all'ultima domanda, credo che l'esponente critico non garantisca compattezza. Per mostrarlo forse si può fare così: se esiste una funzione u tale che \(\|u\|_2=\|\nabla u\|_2\)

Penso proprio di sì, dovrebbe essere il primo autovettore del laplaciano, o comunque il minimo che appunto realizza la costante di poincaré.

[Massimo Gobbino]

Penso proprio di sì, dovrebbe essere il primo autovettore del laplaciano, o comunque il minimo che appunto realizza la costante di poincaré.

Occhio però che il minimo a priori è solo \(H^1_0\), e non \(C^\infty_c\). In realtà poi \(C^\infty\) lo è, ma a supporto compatto proprio no. Quindi un minimo di argomento di approssimazione ad un certo punto ci vuole.

[Schrodingers_Bat]

Provo anche a dare una soluzione dell'esercizio 4, prego qualche anima pia di controllarmelo.

[+] Exe04

Considero l'operatore \(Tf(x)=\cos x+\int_0^{\cos x} \cos f(t)\,dt\) da \(C^0(-8,8)\) in sé. L'idea è applicare il teorema del punto fisso di Schauder, dunque serve dire che:
0) \(C^0\) è convesso (beh...)
1) La mappa è continua in norma uniforme. Questo è vero perché
\(|Tf(x)-Tg(x)|\le \int_{-1}^1|\cos f(t)-\cos g(t)|\le 2\|f-g\|_\infty\)
dove nella seconda disuguaglianza abbiamo usato la Lipschitzianità del coseno.
2) L'immagine è relativamente compatta (tanto la chiusura dell'immagine sarà contenuta in \(C^0\)). Per mostrarlo osserviamo che, per qualsiasi successione \(f_n\in C^0\), le funzioni \(Tf_n\) hanno derivata limitata in norma uniforme, dunque sono equilipschitziane di costante \(2\). Ciò implica anche che si estendono per continuità al bordo, dunque sono delle funzioni continue su \(C^0[-8,8]\). Infine, l'equicontinuità sommata alla condizione \(Tf(\pi/2)=0\) ci garantisce l'equilimitatezza, e il teorema di Ascoli-Arzelà ci permette di concludere la relativa compattezza dell'immagine.
Ora, il punto fisso è continuo e soddisfa l'equazione integrale. Dunque è anche \(C^1\), e per bootstrap risulta anche \(C^{\infty}\).

[Massimo Gobbino]

Ho aggiunto al primo post il testo del secondo scritto.

[Studente1]

Qualcuno può caricare la sua soluzione del secondo appello?
Ci sono dei passaggi (la gestione del valore assoluto nel secondo esercizio ad esempio), che vorrei vedere per fare un confronto

[Massimo Gobbino]

Uhm, pare che nessuno stia più preparando la materia. Ho aggiunto un file io, senza troppi dettagli.