Continuità della traccia

[MatteoP]

Buonasera a tutti,

volevo proporre una potenziale dimostrazione alternativa al seguente fatto e chiedere se torna. Il fatto sarebbe (lezione 38): date \(u_n, u_\infty \in W^{1, p}(\mathbb{R}^d_+)\) con \(1<p<d\) per cui
(i) \(u_n\to u_\infty\) in \(L^p(\mathbb{R}^d_+)\)
(ii) \(\|\nabla u_n\|_{L^p}\leq M\)
allora \(Tr(u_n)\to Tr(u_\infty)\) in \(L^q\) per ogni \(q\in [p, \hat{p}^*)\).

Dim:
Nella lezioni prima, tra le stime per definire la traccia avevamo ottenuto

\(\|Tr(u)\|_{L^{r+1}(\mathbb{R}^d_+)}^{r+1}\leq (r+1)\|\nabla u\|_{L^p(\mathbb{R}^d_+)}\|u\|_{L^{rp'}(\mathbb{R}^d_+)}^r\)

Ponendo \(u = u_n - u_\infty\) e \(r = p-1\) abbiamo:

\(\|Tr(u_n)-Tr(u_\infty)\|_{L^p(\mathbb{R}^d_+)}^p\leq p\|\nabla u_n -\nabla u_\infty\|_{L^p(\mathbb{R}^d_+)}\|u_n -u_\infty\|_{L^p(\mathbb{R}^d_+)}^{p-1}\leq M'\|u_n -u_\infty\|_{L^p(\mathbb{R}^d_+)}^{p-1}\to 0\)

quindi le tracce convergono in \(L^p\). Infine essendo \(u_n\) limitate in \(W^{1,p}\), allora le tracce sono limitate in \(L^{\hat{p}^*}\) e quindi convergono in \(L^q\) per ogni \(q\in [p, \hat{p}^*)\) per la disuguaglianza di interpolazione.

Grazie!

[Massimo Gobbino]

Mi sembra che funzioni, e senza bisogno di introdurre la zona di scambio. Ho aggiunto la citazione a questo thread nell'errata corrige del 2018/19.

Ottimo lavoro!