Regolarità fino al bordo in dominio generico

[fra_ppa]

Lezione 46, teorema di regolarità fino al bordo per aperti regolari.

Non mi sembra immediata l'applicazione delle partizioni dell'unità per ridurre il problema al caso modello del semispazio. Cerco di spiegarmi.

Sappiamo che \(u\) risolve per ogni \(\varphi\in C^{\infty}_c(\Omega)\)

\(-\int_{\Omega} <Du,D\varphi> = \int_{\Omega} f\varphi.\)

Sia \(\{\Omega_0,\Omega_1,\ldots,\Omega_n\}\) un ricoprimento finito di \(\textrm{Clos}(\Omega)\). Sia \(\phi_0,\ldots, \phi_n\) una partizione dell'unità di tipo B subordinata a tale ricoprimento. È vero che per ogni \(i\) vale

\((1) \qquad -\int_{\Omega_i\cap \Omega} <Du_i,D\varphi> = \int_{\Omega_i\cap \Omega} f_i\varphi\)

dove \(u_i=u\phi_i\) e \(f=f\phi_i\)?

Scegliendo \(\varphi \in C^{\infty}_c(\Omega_i\cap \Omega)\), arriverei a dire che

\(-\int_{\Omega_i\cap \Omega} <Du,D\varphi> = \int_{\Omega_i\cap\Omega} f\varphi.\)

A questo punto, via diffeomorfismo, ottengo \(v\in H^1(Q^+)\) e niente di più perché \(u\notin H^1_0(\Omega_i\cap \Omega)\). Perciò non mi sembra vero che \(v\in H^1_0(\mathbb{R}^d_+)\), ipotesi necessaria per applicare il teorema modello.

Per questo la necessità di avere verificata l'uguaglianza \((1)\). Dal momento che \(\phi_i\) ha supporto compattamente contenuto in \(\Omega_i\), guadagnerei \(u_i\in H^1_0(\Omega_i\cap \Omega)\) e quindi \(v\in H^1_0(Q^+)\), la cui estesa nulla sta in \(H^1_0(\mathbb{R}^d_+)\) (discorso analogo per \(f_i\)).

Come si sistema?

In alternativa, mi chiedo se valga un teorema modello con \(Q^+\) al posto di \(\mathbb{R}^d_+\). In tal caso, per definire le derivate discrete, non ci si dovrebbe accontentare di un risultato locale?

[Massimo Gobbino]

Sia \(\{\Omega_0,\Omega_1,\ldots,\Omega_n\}\) un ricoprimento finito di \(\textrm{Clos}(\Omega)\). Sia \(\phi_0,\ldots, \phi_n\) una partizione dell'unità di tipo B subordinata a tale ricoprimento. È vero che per ogni \(i\) vale

\((1) \qquad -\int_{\Omega_i\cap \Omega} <Du_i,D\varphi> = \int_{\Omega_i\cap \Omega} f_i\varphi\)

dove \(u_i=u\phi_i\) e \(f=f\phi_i\)?

Ovviamente no. Vale qualcosa del tipo

\(\displaystyle -\int_{\Omega_i\cap \Omega} <Du_i,D\varphi> = \int_{\Omega_i\cap \Omega} g_i\varphi\)

dove \(g_i\) contiene al suo interno \(f\phi_i\) più un paio di altri termini, come nel caso 4 della lezione 44. Questi termini ulteriori però li sappiamo stimare, esattamente come alla lezione 44.

Ora \(u_i\in H^1_0(\Omega_i\cap\Omega)\) e quando la trasportiamo in Q o \(\mathbb{R}^d\) via diffeomeorfismo finisce come previsto in \(H^1_0\) della parte alta.

Mi pare che funzioni, o forse ho capito male il dubbio.

[fra_ppa]

Funziona! Non avevo intrapreso quel conto perché mi ero convinta in partenza che non fosse utile, e invece
Grazie mille!

[Massimo Gobbino]

L'idea essenziale della regolarità, sia nella versione interna sia nella versione fino al bordo con DBC (ma con NBC è analogo), è che alla fine basta fare i due casi modello e farli assumendo tutto regolare quanto si vuole (le famose stime a priori). A quel punto sistemare le cose per bene è solo questione di tecnica.

Per ovviare alla mancanza di regolarità si usano i rapporti incrementali, facendo esattamente gli stessi conti.

Per ovviare al fatto che non si è nel caso modello, ci si riporta a quello con la partizione dell'unità e le carte locali. Ovviamente questo cambia l'equazione che stiamo andando a risolvere.

Quando moltiplico per \(\phi\) devo osservare che se prima avevo \(\Delta u=f\) ora ho

\(\Delta(u\cdot\phi)=\Delta u \cdot\phi+2\langle Du,D\phi\rangle+u\cdot\Delta\phi=f \cdot\phi+2\langle Du,D\phi\rangle+u\cdot\Delta\phi\).

Scritto così sembra un conto di analisi 2, ma non lo è, perché non abbiamo abbastanza regolarità, e quindi le equazioni iniziali e finale vanno interpretate in senso debole (è il conto alla fine della Lezione 45 di IstAM_20).

Se c'è anche il diffeomorfismo, allora nell'equazione trasportata non c'è più il Laplaciano al LHS, ma un operatore ellittico con una matrice opportuna (è il conto della Lezione 46). Questo alla fine è il motivo per cui fare la teoria del solo Laplaciano non è più semplice e quindi tanto vale fare direttamente la teoria per l'operatore ellittico generale.

Questo post dovrebbe riassumere la teoria della regolarità vista nel corso.

P.S. Ho spostato questa discussione in un thread a parte.