Dubbio partizione dell'unità - parte 2 (lez. 34)

[aleM]

Dopo aver definito le \(\theta_i(x)\) perché ricorriamo a quella definizione induttiva delle \(\psi_i(x)\) invece che definirle semplicemente come nella prima partizione dell'unità (lez.27)? Non riesco a trovare l'inghippo, qui il ricoprimento è addirittura finito...

[Massimo Gobbino]

L'inghippo è sottile, ed inizialmente c'ero cascato pure io, al punto che nel corso di analisi 2 (dove serve questo tipo di partizione per dimostrare Gauss-Green) ho fatto la dimostrazione come nell'altro caso, sbagliando.

Il punto è che le \(\psi_i(x)\) servono definite su tutto lo spazio e con supporto contenuto negli \(A_i\). Ora se ci mettiamo nei punti che stanno solo in \(A_{37}\) (e questi punti ci possono essere), allora la costruzione della lezione 27 porterebbe ad avere \(\psi_{37}(x)=1\) in tutti questi punti, finendo addirittura per creare delle discontinuità sul bordo di \(A_{37}\) che affaccia sul nulla.

Questa è la grossa differenza rispetto al caso precedente, nel quale appunto non può esistere un pezzo del bordo di \(A_{37}\) che affaccia sul nulla.

[aleM]

E' vero!! Grazie mille

[fra_ppa]

Ora se ci mettiamo nei punti che stanno solo in \(A_{37}\) (e questi punti ci possono essere), allora la costruzione della lezione 27 porterebbe ad avere \(ψ_{37}(x)=1\) in tutti questi punti, finendo addirittura per creare delle discontinuità sul bordo di \(A_{37}\) che affaccia sul nulla.

Penso si possa risolvere anche in questo modo. Nelle partizioni di tipo A costruivamo \(\theta_i\) in modo che valesse \(1\) in un aperto \(A_{i,m}\subset\subset A_i\) e \(0\) fuori da \(A_i\). Per avere una fascia di nullità anche dentro \(A_i\) farei così. Ripeto la costruzione delle partizioni di tipo A in modo che \(\theta_i\) sia \(1\) su \(A_{i,m}\) e nulla al di fuori di \(B_i\), dove

\(A_{i,m}\subset \subset B_i \subset\subset A_i.\)

(Ad esempio \(B_i=A_{i,m+1}\)?)

Potrebbe venire meno la somma \(1\) su \(\textrm{Clos}(\Omega)\)? Io credo di no, a patto di scegliere \(m\) in modo che \(\{A_{i,m}\} \) siano un ricomprimento aperto di \(\textrm{Clos}(\Omega)\).

Sto sbagliando?

(Non capisco perché le mie risposte vengano formattate così male.)

[Massimo Gobbino]

Purtroppo non si sistema così facilmente. Il problema non è che le \(\theta_i\) non si annullano vicino al bordo, ma il fatto che quando si va a dividere per la somma per costruire le \(\psi_i\) succede un pasticcio (cioè viene 1) in tutti i posti in cui c'è una sola theta non nulla.

Per chiarire la situazione, basta pensare al caso in cui abbiamo solo due aperti, addirittura due cerchi.

[fra_ppa]

Grazie!!

La mia confusione nasceva dal fatto che non riuscivo a spiegarmi come mai una procedura così 'innocua' e versatile come quella delle partizioni di tipo A potesse ad un certo punto non funzionare più. La risposta che mi sono data è che nelle partizioni di tipo B il sottoricoprimento degli \(\hat{A}_i\) non ricopre più tutto l'aperto ricoperto dagli \(A_i\):

\(\displaystyle\bigcup_{i=0}^n \widehat{A}_i \subsetneq \bigcup_{i=0}^n A_i\).

L'assunzione che gli \(\hat{A}_i\) ricoprissero era un passo fondamentale nelle partizioni di tipo A (e nella dimostrazione vista nel corso di Istituzioni di Geometria).

[Massimo Gobbino]

come mai una procedura così 'innocua' e versatile come quella delle partizioni di tipo A potesse ad un certo punto non funzionare più

Per come la vedo io l'ipotesi fondamentale nella partizione di tipo A è che gli aperti del ricoprimento sono ben contenuti. Questo li costringe a formare assembramenti vicino al bordo, per cui non può accedere che ci sia un bordo di un aperto del ricoprimento che affaccia sul nulla. Ogni punto di quel bordo sarà per forza in un altro aperto del ricoprimento, anche quando passeremo alla versione risparmiosa.