Approssimazione di operatori compatti

[n.bertozzi]

Salve, ho un dubbio riguardo alla lezione 49 del corso 2019/2020, più precisamente sul corollario all'approssimazione finito dimensionale in spazi di Hilbert: nel punto 3 si assume come ipotesi sugli operatori \(f_n\) che siano continui e si dice che allora sono anche compatti, avendo immagine finito dimensionale.
Il fatto è che non riesco a capire questa implicazione. Nel video si dice che funzioni continue mandano limitati in limitati (e così riuscirei a concludere la compattezza), ma questo non dovrebbe essere vero quando gli operatori sono anche lineari?
Non so se mi stia perdendo in un bicchier d'acqua, ma non riesco a venirne a capo.

Già che ci sono, segnalo che il link al pdf della lezione 57 del corso 2020/2021 dà "page not found" (non credo sia un problema mio, perché le altre lezioni le vedo bene).

Grazie!

[Massimo Gobbino]

Nel video si dice che funzioni continue mandano limitati in limitati (e così riuscirei a concludere la compattezza), ma questo non dovrebbe essere vero quando gli operatori sono anche lineari?

Giustissimo . Il solito retaggio finito dimensionale che ci portiamo dietro: la continuità implica la compattezza quando in partenza ed arrivo abbiamo dimensione finita, ma se in partenza la dimensione è infinita in generale non è vero (cercare i controesempi!).

Grazie mille per la segnalazione. Prima o poi aggiorno l'errata corrige (e carico quel pdf mancante).

[fra_ppa]

Rispondo a questo post per sollevare due dubbi riguardo all'approssimazione di op. compatti nel caso generale, quello di operatore compatto fra spazi normati. Nella dimostrazione del Corollario 1, Lezione 49/19-20:

1. [+] quando dimostriamo che le \(f_n\) sono operatori compatti? Io credo si debba fare a parte ed è in questo momento che entra in gioco la continuità delle proiezioni non lineari;
2. chi è il compatto \(\hat{K}_n\) che contiene \(f(B_n)\)? Se \(Y\) fosse completo, potrei dire che è \(\textrm{Clos}(f(B_n))\). Ma se \(Y\) non è completo, mi basta davvero la relativa compattezza a esibirlo?

[Massimo Gobbino]

Mi sto un po' perdendo , e non capisco nemmeno bene di cosa si sta parlando. Non trovo nemmeno il Corollario 1 nella Lezione 49. A pagina 3 c'è un Corollario (senza numero) che tratta il caso Hilbertiano. Poi a pagina 5 si dice che vale un corollario analogo anche nel caso di spazi normati. In entrambi i casi un operatore f compatto viene approssimato mediante \(p_n\circ f\), dove \(p_n\) sono opportune proiezioni (lineari nel caso Hilbert, non lineari nel caso generale) a valori in sottospazi di dimensione finita. Ora se f è compatto, la composizione è compatta (fatto generale: continuo composto compatto = compatto). Ma forse non ho capito la domanda.

[fra_ppa]

Mi riferisco a quello di pagina 5.

Mi ero stupita che non fosse nemmeno menzionata (forse a parole nel video) la compattezza delle approssimanti, sebbene sia un fatto tranquillo da dimostrare. Comunque ha risposto alla prima domanda!

La seconda domanda (non riesco a mettere il numero 2. al posto del puntino) in realtà è una questione di topologia .

Se \(f(B_n)\) è relativamente compatto, esiste un compatto \(\hat{K}_n\) che la contiene? Chi è il compatto \(\hat{K}_n\) che ci serve per definire la proiezione \(P_n\)?

In modo naturale, direi che

\(\hat{K}_n=\{y\in Y : \exists \{x_n\}\subset f(B_n), \exists n_k\to \infty \text{ tali che } x_{n_k}\to y\}\),

però non mi sembra immediato dire che è compatto. Lo dimostrerei suddividendo le sue successioni in due categorie: quelle definitivamente in \(f(B_n)\), che non creano problemi; quelle frequentemente in \(\hat{K_n}\setminus f(B_n)\). Per questo secondo tipo, costruirei una sottosuccessione convergente con un procedimento ricorsivo (visto spesso a lezione).

Sto complicando una cosa semplice? Spero di essermi spiegata.

[Massimo Gobbino]

Se \(f(B_n)\) è relativamente compatto, esiste un compatto \(\hat{K}_n\) che la contiene? Chi è il compatto \(\hat{K}_n\) che ci serve per definire la proiezione \(P_n\)?

Il compatto è la sua chiusura. Dato un sottoinsieme Y di uno spazio metrico X, sono fatti equivalenti

1. la chiusura di S è compatta in X,
2. ogni successione a valori in S ammette almeno una sottosuccessione convergente a qualche elemento di X (non necessariamente di S).

L'equivalenza non richiede la completezza di X (che serve invece per l'ulteriore equivalenza con la totale limitatezza). Se S verifica una a caso delle due (dunque entrambe) si dice relativamente compatto.

\(\hat{K}_n=\{y\in Y : \exists \{x_n\}\subset f(B_n), \exists n_k\to \infty \text{ tali che } x_{n_k}\to y\}\)

buffo modo di definire la chiusura

Lo dimostrerei suddividendo le sue successioni in due categorie: quelle definitivamente in \(f(B_n)\), che non creano problemi; quelle frequentemente in \(\hat{K_n}\setminus f(B_n)\). Per questo secondo tipo, costruirei una sottosuccessione convergente con un procedimento ricorsivo (visto spesso a lezione).

In fondo stai cercando di dimostrare che (ii) implica (i) nell'equivalenza di sopra. Io farei così. Data \(y_n\) a valori nella chiusura di S, esiste \(s_n\) a valori in S tale che \(\operatorname{dist}(y_n,s_n)\leq 1/n\) (segue dalla definizione di chiusura). Ora \(s_n\) ammette una sottosuccessione convergente (evidentemente ad un elemento della chiusura di S), e questa si tira dietro la corrispondente sottosuccessione di \(y_n\).

Sto complicando una cosa semplice?

Ni. Il diavolo è nei dettagli.

Spero di essermi spiegata.

Spero di aver risposto (e che qualcuno intervenga nell'altro topic con la richiesta di controesempio).