Affermo che
\(\displaystyle \min\{G(u):=\int_0^{\pi}\left(\dot{u}^2+\cos x \cdot u^4\right)dx : u(0)=u(\pi)=4\}\)
non esiste e che \(\inf=-\infty\).
Sia \(\phi\in C^1([0,\pi])\) tale che \(\phi(0)=\phi(\pi)=4\) e \(\phi(x)\leq 0\) se \(x\in \left[\frac{3}{2}\pi,\frac{7}{4}\pi\right] \) (intervallo in cui il coseno è \(\leq -\frac{1}{2}\)).
Costruisco una successione infizzante ponendo
\(u_n(x)=\begin{cases}n\cdot \phi(x) & \text{se } x\in \left[\frac{3}{2}\pi,\frac{7}{4}\pi\right], \\ \phi(x) & \text{altrimenti}. \end{cases}\)
Se \(n\to +\infty\) concludiamo che \(G(u_n)\to-\infty\) poiché
\(\displaystyle G(u_n)\leq \int_{\left[0,\frac{3}{2}\pi\right]\cup \left[\frac{7}{4}\pi,\pi\right]} \left(\dot{\phi}^2+\cos x \cdot \phi^4\right) dx + \int_{\left[\frac{3}{2}\pi,\frac{7}{4}\pi\right]}\left( n^2\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}n^4\phi^4\right) dx = \text{costante} - n^4 \left(\int_{\left[\frac{3}{2}\pi,\frac{7}{4}\pi\right]}\left( \frac{1}{2}\phi^4-\frac{\dot{\phi}^2}{n^2}\right) dx\right)\)
\( \leq c_1 - n^4 \cdot c_2(n)\)
e
\(\displaystyle c_2(n):=\int_{\left[\frac{3}{2}\pi,\frac{7}{4}\pi\right]}\left( \frac{1}{2}\phi^4-\frac{\dot{\phi}^2}{n^2}\right) dx\)
è definitivamente positivo (non convintissima, ma posso scegliere \(\phi\) che lo soddisfa?).
L'idea è la stessa usata durante il live event di oggi per dimostrare che il funzionale
\(\displaystyle F'(u)=\int_0^{\pi} \left( \dot{u}^2 +\sin x \cdot u^3 \right) dx \)
è illimitato inferiormente se \(u\in C^1([0,\pi])\), \(u(0)=u(\pi)=4\).