Boundary value problems 1 -- Regolarità

[Matteo_Talluri]

Ciao a tutti, non riesco a studiare la regolarità della soluzione di questo boundary value problem

\(
\begin{cases}\ddot{u}=|\sin x||\cos u|\\
u(0)=0\\
u(2015)=7\\
\end{cases}\)

Ho affrontato il problema impostando il seguente problema di minimo

\(\displaystyle\min\left\{\int_0^{2015}\frac{\dot u^2}{2}+|\sin (x)|g(u)\::\:u\in H^1([0,2015]),\ u(0)=0,\ u(2015)=7\right\}\)

con \(g(s)\) una primitiva di \(|\cos s|\).
Ho studiato il problema col metodo diretto e fila tutto abbastanza liscio fino alla regolarità dove mi blocco. Se \(u\) è soluzione del problema ho:
\(u\in H^1\implies u \in C^0\implies |\sin x||\cos u|\in C^0\implies u''\in C^0 \implies u'\in C^1\implies u\in C^2\) e volendo avrei anche la derivata prima lipschitziana ma non riesco a procedere oltre. La presenza dei valori assoluti mi fa pensare che \(u\) non sia ulteriormente derivabile ma non sono riuscito a dimostrarlo.

[Massimo Gobbino]

In realtà allo stesso modo si può anche arrivare a dire che \(u''\) è Lipschitziana, ma poi andare oltre è praticamente impossibile, nel senso che è molto probabile che la regolarità si fermi a \(C^{2,1}\). Tuttavia, dimostrarlo non mi sembra per nulla ovvio, e anzi può anche essere che cambiando quel 7 con un numero opportuno la soluzione diventi più regolare, ad esempio perché u transita nei punti problematici proprio per quei valori di x in cui il seno si annulla, compensando l'angolo del valore assoluto.

In realtà poi c'è un problema peggiore, che mi suggerisce che quell'esercizio vada modificato. Il grosso problema è l'unicità, che molto probabilmente non c'è. Anzi, mi pare che con boundary conditions opportune si riesca a far vedere che davvero l'unicità non c'è. Questo è istruttivo. Qualcuno ha idee?