Campi di Weierstrass sempre globali? Mmm..
Posted: Tuesday 18 September 2018, 22:17
Carissimi,
Mi chiedevo stamattina un criterio sufficiente per l'esistenza di campi di Weierstrass "globali", ovvero con una famiglia \(u_{\epsilon}\) con \(\epsilon\) che varia in tutto \(\mathbb{R}\) invece che in un intervallino. Per iniziare, diciamo che abbiamo un'equazione differenziale in forma normale
$$ \ddot u = f(x,u, \dot{u})$$
E diciamo che esiste un campo di weierstrass locale intorno a una certa soluzione \(u_0\). Dico allora (ma secondo me è sbagliato) che esiste un campo di Weierstrass globale facendo così: prendo il campo di Weierstrass locale \(u(\epsilon, x)\) con \(\epsilon \in [- \delta, \delta]\), (domanda: lo richiediamo \(C^1\) per essere campo di Weierstrass?).
Pongo allora
$$ w(\epsilon,x) = u( \alpha \arctan ( \epsilon ), x)$$
Dove \(\alpha\) è la cosa giusta per far quadrare gli intervalli, ovvero \(\frac{2 \delta}{\pi}\). Continua a esser crescente in \(\epsilon\), a verificare l'equazione a \(\epsilon\) fissato, e volendo sono C^1 se prima l'abbiamo assunto.
Come corollario, avremmo il seguente
Fatto: sia \(L(x,s, p) = p^2- f(x,s)\), e sia assegnato il problema di minimo relativo con DBC. Supponiamo che per un certo \(u_0\) soluzione di ELE valgano \(L^+, J^+\). Allora \(u_0\) è GM (senza convessità!!).
Dimostrazione: Sia \(w\) un altro competitore. Per L^+, J^+ esiste un campo locale attorno a u_0, dunque anche un anche un campo globale. Sia \(u_{\epsilon}\) questo campo di Weierstrass globale, e \(p\) la slope function associata. Allora:
(1) L'eccesso di Weierstrass è sempre positivo:
$$ E(x,s,p,q) = (q^2 -f(x,s) )-(p^2-f(x,s) ) -(q-p)2p = (q-p)^2 \ge 0 $$
(2) Calcoliamo con la (WRF), che vale perche abbiamo le DBC assegnate:
$$F(w) - F(u) = \int_a^b E(x,w(x), p(x,w(x) ), \dot{w}(x) ) \ge 0 $$
E niente... Voi ci credete?
Mi chiedevo stamattina un criterio sufficiente per l'esistenza di campi di Weierstrass "globali", ovvero con una famiglia \(u_{\epsilon}\) con \(\epsilon\) che varia in tutto \(\mathbb{R}\) invece che in un intervallino. Per iniziare, diciamo che abbiamo un'equazione differenziale in forma normale
$$ \ddot u = f(x,u, \dot{u})$$
E diciamo che esiste un campo di weierstrass locale intorno a una certa soluzione \(u_0\). Dico allora (ma secondo me è sbagliato) che esiste un campo di Weierstrass globale facendo così: prendo il campo di Weierstrass locale \(u(\epsilon, x)\) con \(\epsilon \in [- \delta, \delta]\), (domanda: lo richiediamo \(C^1\) per essere campo di Weierstrass?).
Pongo allora
$$ w(\epsilon,x) = u( \alpha \arctan ( \epsilon ), x)$$
Dove \(\alpha\) è la cosa giusta per far quadrare gli intervalli, ovvero \(\frac{2 \delta}{\pi}\). Continua a esser crescente in \(\epsilon\), a verificare l'equazione a \(\epsilon\) fissato, e volendo sono C^1 se prima l'abbiamo assunto.
Come corollario, avremmo il seguente
Fatto: sia \(L(x,s, p) = p^2- f(x,s)\), e sia assegnato il problema di minimo relativo con DBC. Supponiamo che per un certo \(u_0\) soluzione di ELE valgano \(L^+, J^+\). Allora \(u_0\) è GM (senza convessità!!).
Dimostrazione: Sia \(w\) un altro competitore. Per L^+, J^+ esiste un campo locale attorno a u_0, dunque anche un anche un campo globale. Sia \(u_{\epsilon}\) questo campo di Weierstrass globale, e \(p\) la slope function associata. Allora:
(1) L'eccesso di Weierstrass è sempre positivo:
$$ E(x,s,p,q) = (q^2 -f(x,s) )-(p^2-f(x,s) ) -(q-p)2p = (q-p)^2 \ge 0 $$
(2) Calcoliamo con la (WRF), che vale perche abbiamo le DBC assegnate:
$$F(w) - F(u) = \int_a^b E(x,w(x), p(x,w(x) ), \dot{w}(x) ) \ge 0 $$
E niente... Voi ci credete?
e l'errore mi sembra abbastanza evidente 