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Ciao a tutti!

Ho un dubbio che sembra un po' scemo ma non capisco dove sbaglio...

Il problema è il seguente: trovare i minimizers di \(F(u)=\int_0^{\pi} (u'')^2\), dove u varia tra le \(C^2(0, \pi)\). Le BC sono diverse a seconda della richiesta, ma poco importa. Per adesso affrontiamo il problema senza condizioni ulteriori.

Il problema di per sè è semplice: \(F(u)\ge 0\) sempre, e \(F(u)=0\) implica \(u''=0\), ovvero le rette (che effettivamente realizzano lo zero).
Ma se provo con approcci classici ho difficoltà per la derivata doppia:

APPROCCIO 1 (forma integrale): la variazione prima del funzionale lungo \(v \in C^{\infty}_c(0,\pi)\) è 2 \(\int u'' v''\).
Ponendola uguale a zero, otteniamo con metodi alla DBR che \(u'' = cx+d\) . Nello specifico, riconosciamo che le v'' al variare di \(v \in C^{\infty}_c(0,\pi)\)sono tutte e sole le f a media nulla e con primitiva a media nulla. Aggiungendo una retta alla nostra u'' possiamo fare in modo che sia a media nulla e con primitiva a media nulla, perciò si approssima con funzioni \(C^{\infty}\) con la stessa proprietà, e otteniamo al solito che u''-nostra retta ha norma quadra nulla, ovvero è nulla. Dunque u è una cubica (???). Ma non è neanche il problema più grosso, magari riusciamo ancora a fare in modo che sia una retta.
Se ora vogliamo dimostrare con disuguaglianza che vanno bene, il termine centrale che solitamente va via per la ELE non se ne va, perchè non è detto che il competitor sia \(C^{\infty}_c(0,\pi)\) e in questo caso il termine non si annulla automaticamente (come fa solitamente con un pizzico di fortuna) perchè al bordo non è necessariamente nulla.

APPROCCIO 2 (forma differenziale): ritornando alla variazione prima, possiamo fare l'integrazione per parti facendo guadagnare derivate alla v (ma non alla u, perchè non abbiamo la giusta regolarità). Otteniamo così
$$ \int_0^{\pi} u v^{(4)} -[uv^{(3)} ]_0^{\pi} + [u' v'']_0^{\pi} $$
Che ci dà, scegliendo ordinatamente le v da provare, che u è una cubica che soddisfa \(u(0)=u(\pi)=u'(0)=u'(\pi)=0\). Quattro parametri, quattro condizioni... come immaginate l'unica soluzione è \(u\equiv 0\), ma questa è una bugia! Sappiamo che ci dovrebbero essere anche le rette, già \(u(0)=0\) non ci piace.

Che si fa? Grazie dell'aiuto!
P.S. Il double dollar mi funziona per il latex non inline, ma il singolo no. E neanche \(. C'è un modo più comodo di \( ?\)

Intanto sposto nella sezione giusta

Per quanto riguarda l'approccio1:
Tutte le funzioni tali che \(u'' = cx+d\) non sono tutti punti di minimo, infatti: se calcoli \(F\) nelle funzioni tali che \(u'' = 1\) (cioè per c=0 e d=1) il funzionale vale \(\pi\); mentre se lo calcoli in \(u'' = 0\) (cioè per c=d=0) si ha che F vale 0. Dunque per questo motivo non si riesce a portare avanti la "dimostrazione per disuguaglianza".
Il minimo al variare di \(c\) e \(d\) di F calcolato nelle funzioni tali che \(u'' = cx+d\) si ottiene per \(c=d=0\). Quindi ora basta fare la "dimostrazione per disuguaglianza" per le funzioni tali che \(u'' = 0\) (che si fa).

(Fra poco invio le mie considerazioni sull'approccio2)

Per quanto riguarda l'approccio2:
Credo hai fatto un errore nel dedurre che \(u(0)=u(\pi)=u'(0)=u'(\pi)=0\).
Una volta ottenuto che \(0=\int_0^{\pi} u v^{(4)} -[uv^{(3)} ]_0^{\pi} + [u' v'']_0^{\pi}\) \(\forall v\in C^{\infty}\) (eq.1) , considerando solo le \(v\in C_c^{\infty}((0,\pi))\) si ottiene \(0=\int_0^{\pi} u v^{(4)}\) e dunque u è una cubica. Una volta fatto ciò non si può porre uguale a 0 il termine \(\int_0^{\pi} u v^{(4)}\) nell'equazione precedente (cioè l'eq.1) perchè quella è \(\forall v\in C^{\infty}\) mentre sappiamo che quel termine è nullo solo per le \(v\in C_c^{\infty}((0,\pi))\).
Se non sono stato chiaro dillo pure e nel caso cerco di spiegarmi meglio

Grazie mille!

Per l'approccio 1, chiaro: in realtà eravamo nel giusto bastava minimizzare a mano il funzionale derivando in \(c,d\). Mi è capitato peraltro un problema un sacco interessante in cui avevo provato a fare a mano i conti con i parametri e mi veniva incredibilmente una soluzione diversa da quella che pareva ad occhio! Alla fine c'era anche un altro metodo un po' meno contoso, comunque te lo consiglio perchè è divertente (esercizio 4 a pag 17 della raccolta di esercizi).

Per l'approccio 2, anzitutto ho capito che le mie pare mentali sulla regolarità erano superflue perchè l'inf è lo stesso in \(C^{\infty}\) (e poi se trovo una funzione con cui dimostro la minimalità, cavoli miei di come ho fatto). Poi sì, ho capito i tuoi commenti ma allora non saprei come andare avanti: prendersi i quattro parametri, buttarli dentro e far restare solo termini di bordo? (perchè noi segretamente sappiamo che da \(\int uv^{(4)}\) rimangono solo termini di bordo se u è una cubica).

Grazie ancora e a buon rendere,
Andrea

Provo ad aggiungere qualche commento, anche se faccio fatica ad interpretare i dubbi di taremin. Tra l'altro, mi pare che la situazione sarebbe esattamente la stessa anche con una derivata in meno.

Vogliamo minimizzare l'integrale della derivata seconda al quadrato tra tutte le funzioni \(C^2\) o \(C^{28}\) o \(C^\infty\), senza ulteriori condizioni.

Se decidiamo di andare di metodo indiretto, possiamo (detto tra di noi) fregarcene della regolarità, perché quello che scriviamo è brutta copia. In bella copia, volendo, potremo riportare solo la disuguaglianza finale, che è quella che sistema tutto rigorosamente.

Detto questo, la variazione prima diventa

\(\displaystyle\delta F(u,v)=\int_a^b u''(x)v''(x)\,dx\)

L'annullamento di questa è quella che nel corso ho chiamato prima forma integrale dell'equazione di Eulero. L'importante è precisare qui per quali \(v(x)\) la cosa deve essere vera. Non avendo condizioni al bordo, \(v(x)\) può essere una qualunque funzione \(C^2\).

Ora, fregandocene della regolarità, possiamo integrare per parti ottenendo

\(\displaystyle\delta F(u,v)=\int_a^b u^{(4)}(x)v(x)\,dx+\mbox{termini vari di bordo}\)

e tutto questo deve annullarsi per ogni \(v\in C^2\). Questa è la seconda forma integrale di Eulero.

Scegliendo le \(v(x)\) nulle al bordo scopriamo che deve essere \(u^{(4)}(x)=0\) nell'intervallo, la quale ha come soluzione tutte le cubiche. Scegliendo ora delle \(v(x)\) opportune non nulle al bordo troviamo delle condizioni al bordo che sono nate nel processo di minimizzazione, e sono quelle che uccidono le cubiche che non sono rette (fare il conto per credere).

A questo punto osserviamo che tutte le rette verificano la prima forma integrale di Eulero e chiudiamo con la disuguaglianza.

Per come la vedo io, l'errore di fondo nell'approccio 1 è nel non aver considerato tutte le variazioni ammissibili, ma solo quelle a supporto compatto. Queste, per dirla con un linguaggio complicato, non spannano tutto lo spazio tangente, quindi non forniscono abbastanza condizioni, il che permette a dei candidati abusivi (le cubiche non rette) di restare in vita.

Se uno è seccato dalla questione di regolarità (comunque inessenziale, visto che la parte rigorosa è la disuguaglianza finale), se ne può uscire comunque, ma occorre fare un salto avanti di qualche lezione ... arrivando alle derivate deboli. Dalla prima forma integrale di Eulero si scopre che in realtà \(u(x)\) sta in \(H^4\) ed a quel punto di può davvero integrare per parti ... quello che ha fatto teremin nel suo approccio 1 è stato mettere tutto insieme ... dalla dimostrazione dell'ulteriore regolarità al DBR ...

L'errore di fondo nell'approccio 2, che non ho capito perché si chiama forma differenziale, è molto più riposto. Per individuarlo, suggerisco di esplicitare l'argomento "scegliendo ordinatamente le v da provare".