Dubbio nel calcolo del rilassato

[FApples97]

Non capisco una cosa che si fa quasi sempre per calcolare il rilassato di un funzionale. Ad esempio nella lezione 21 del 2018 si deve calcolare il rilassato di \(F(u)=\int_{a}^{b} cos(u'(x))+(u(x)-cosh(x))^2\, dx\). Dato che \(G(u):=\int_{a}^{b} (u(x)-cosh(x))^2\, dx\) è continuo in norma \(L^2\), allora basta calcolare il rilassato di \(\int_{a}^{b} cos(u'(x))\, dx\) ecc.. . La cosa che non capisco è: perchè il funzionale \(G(u)\) è continuo ?
(è forse una cosa generale che se \(u_n\) converge ad \(u\) in norma \(L^2\) ed essendo f(x,s) continua, allora \(\int_{a}^{b} f(x,u_n(x))\, dx\) converge a \(\int_{a}^{b} f(x,u(x))\, dx\) ? )

Grazie mille.

[C_Paradise]

Ciao! Il funzionale G(u) è continuo ad esempio perché è composizione di funzioni continue, in particolare è la norma (L2) al quadrato di una traslazione.. In uno spazio normato la norma è sempre una funzione continua per via della disuguaglianza triangolare

[FApples97]

Grazie mille, chiarissimo! E' vero o falso che "se \(u_n\) converge a \(u\) in norma \(L^2\) ed essendo \(f:R^2\rightarrow R\) continua, allora

\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\int_{a}^{b} f(x,u_n(x))\, dx=\int_{a}^{b} f(x,u(x))\, dx\) " ?

[Massimo Gobbino]

E' vero o falso che "se \(u_n\) converge a \(u\) in norma \(L^2\) ed essendo \(f:R^2\rightarrow R\) continua, allora

\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\int_{a}^{b} f(x,u_n(x))\, dx=\int_{a}^{b} f(x,u(x))\, dx\) " ?

L'enunciato, come spesso accade, è falso ma non troppo.

Come è enunciato qui sopra è falso perché si possono costruire semplici controesempi in cui

\(f_n\to 0\) in \(L^2((a,b))\) ma \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\int_a^b [f_n(x)]^4\,dx=+\infty\)

Tuttavia, l'enunciato diventa vero non appena uno aggiunge una qualche ipotesi di dominazione, ad esempio

\(|f(x,s)|\leq As^2+B\)

per ogni valore ammissibile di x ed s.

A quel punto diventa vero con dimostrazione standard, basata sui soliti 3 punti, ai quali qui mi limito ad accennare (ma se servono più dettagli, basta chiedere).

• Se una successione converge in L^2, allora esiste una sottosuccessione che converge puntualmente quasi ovunque in maniera equi-dominata.
• Dalla convergenza puntuale + equi-dominazione + ipotesi di dominazione della Lagrangiana segue la possibilità di passare al limite sotto il segno di integrale per quella sottosuccessione.
• Dal lemma della sotto-sotto segue che si passa al limite su tutta la successione.

Vale la pena notare che, se invece della continuità, uno si accontentasse della semi-continuità inferiore, allora si potrebbe usare Fatou invece di Lebesgue, e questo richiede solo una dominazione dal basso, del tipo

\(f(x,s)\geq -As^2+B\)

Se uno poi avesse, per ragioni particolari, una stima sulla norma \(L^2\) delle derivate, allora basta davvero la continuità di \(f(x,s)\) perché a quel punto sulle funzioni si ha pure la convergenza uniforme. Un caso tipico in cui questo serve è se uno volesse rilassare

\(\displaystyle\int_a^b \left((\dot{u}^2-1)^{22}+u^{44}\right)\,dx\)

Tutti i discorsi si generalizzano facilmente ad esponenti p generici.

[FApples97]

Grazie mille davvero. Non ho capito quale lemma è il "lemma della sotto-sotto" (non l'ho capito neanche quando ho visto la video lezione)

[Massimo Gobbino]

Non ho capito quale lemma è il "lemma della sotto-sotto"

Prova a guardare la lezione 120 di AM1_17.

P.S. Ho corretto un typo nel mio post qui sopra. Nei facili controesempi si ha una successione di funzioni che tende a 0 in \(L^2\), ma l'integrale delle quarte potenze (e non delle funzioni stesse, come avevo scritto erroneamente) tende all'infinito.

[FApples97]

Grazie mille.