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Non riesco a trovare una dimostrazione del lemma DBR se \(f \in L^p\). Un aiutino?

Uhm, non mi è chiaro che cosa non ti è chiaro ... Cosa non funziona nella dimostrazione per approssimazione?

Che non posso mandare le approssimanti a \(f + c\) perchè in generale non so se \((f + c)^2\) è integrabile.
Se invece approssimo \((f+c)^{p-1}\) mi salta che sia a media nulla.

FabioC wrote: Se invece approssimo \((f+c)^{p-1}\) mi salta che sia a media nulla.

Beh, ma la costante \(c\) è nostra amica, quindi la possiamo scegliere in modo da annullare la media che ci serve.

P.S. Ad essere precisi la funzione da approssimare è \(|f(x)-c|^{p-1}\operatorname{sign}(f(x)-c)\). E volendo essere puntigliosi occorrerebbe verificare che il \(c\) esiste ...

Eh, appunto, non mi sembra(va) per nulla evidente che la c opportuna esistesse. Grazie

FabioC wrote:non mi sembra(va)

Ora è chiaro perché la costante esiste?

Sì, l'integrale della funzione da approssimare è continuo rispetto a c per convergenza dominata e ha limite più o meno infinito per c grande o piccola. Giusto?
(c'è qualche cosa da sistemare nel caso p=1, ma si aggiusta anche in quel caso)

FabioC wrote:Sì, l'integrale della funzione da approssimare è continuo rispetto a c per convergenza dominata e ha limite più o meno infinito per c grande o piccola. Giusto?

FabioC wrote:(c'è qualche cosa da sistemare nel caso p=1, ma si aggiusta anche in quel caso)

Giusto, perché con il solo segno si perde la continuità in \(c\). Ma con una bella \(\arctan(f(x)-c)\) l'effetto è lo stesso .

E se \(f\) stesse solo in \(L^{1}_{loc}\)?