Salve Professore, ciao a tutti.
Vorrei chiedere se qualcuno potesse darmi qualche suggerimento su come impostare il punto \((c)\) del primo esercizio di Minimum problems 4 (pagina 32 dell'eserciziario).
Per quanto riguarda gli altri due punti: il primo è stato risolto con il metodo diretto, mentre per risolvere il secondo ho mostrato che se il problema avesse minimo per \(l > \frac{\pi}{2}\) allora la condizione di Weierstrass non sarebbe soddisfatta.
Grazie in anticipo!
Minimum problems 4
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Massimo Gobbino
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Re: Minimum problems 4
Ok il metodo diretto per il punto (a).
Per il punto (b) occhio che fallisce ben altro prima della condizione (W).
Il punto (c), a rivederlo ora, mi sembra che mi sia venuto un po' troppo difficile, quindi non ci dedicherei più tempo di tanto, almeno fino a quando tutto il resto non risulta noioso ...
L'idea, in questi casi degeneri, è quella di considerare il problema senza la DBC nel punto problematico. Quel problema spesso ha soluzione, ed il valore minimo senza la DBC coincide con l'inf con la DBC. Per mostrare quest'ultimo fatto basta far vedere che un raccordo last minute non costa nulla a causa del coefficiente che va ad annullarsi davanti alla derivata (il prototipo è il problema 9 a pag 43). Mostrare l'esistenza senza la DBC in generale può essere problematico (una buona tattica è di considerare lo stesso problema su un intervallo leggermente più piccolo e provare a passare al limite).
Dato questo si aprono due scenari: o per puro caso il punto di minimo (o meglio uno dei punti di minimo) del problema senza la DBC soddisfa la DBC stessa, e allora ovviamente anche il problema con la DBC ha soluzione, oppure quest'ultimo non ha soluzione. In questo esempio siamo nel secondo caso, perché non dovrebbe essere difficile mostrare che ogni soluzione senza la DBC è compresa tra 0 e 1000, ad essere larghi (l'idea è che in (0,1) ci sono stime sulla derivata e poi per ragioni di troncamento la soluzione deve essere monotona in un opportuno verso in ciascuna delle zone in cui il termine con il seno ha un segno).
Per il punto (b) occhio che fallisce ben altro prima della condizione (W).
Il punto (c), a rivederlo ora, mi sembra che mi sia venuto un po' troppo difficile, quindi non ci dedicherei più tempo di tanto, almeno fino a quando tutto il resto non risulta noioso ...
L'idea, in questi casi degeneri, è quella di considerare il problema senza la DBC nel punto problematico. Quel problema spesso ha soluzione, ed il valore minimo senza la DBC coincide con l'inf con la DBC. Per mostrare quest'ultimo fatto basta far vedere che un raccordo last minute non costa nulla a causa del coefficiente che va ad annullarsi davanti alla derivata (il prototipo è il problema 9 a pag 43). Mostrare l'esistenza senza la DBC in generale può essere problematico (una buona tattica è di considerare lo stesso problema su un intervallo leggermente più piccolo e provare a passare al limite).
Dato questo si aprono due scenari: o per puro caso il punto di minimo (o meglio uno dei punti di minimo) del problema senza la DBC soddisfa la DBC stessa, e allora ovviamente anche il problema con la DBC ha soluzione, oppure quest'ultimo non ha soluzione. In questo esempio siamo nel secondo caso, perché non dovrebbe essere difficile mostrare che ogni soluzione senza la DBC è compresa tra 0 e 1000, ad essere larghi (l'idea è che in (0,1) ci sono stime sulla derivata e poi per ragioni di troncamento la soluzione deve essere monotona in un opportuno verso in ciascuna delle zone in cui il termine con il seno ha un segno).
Re: Minimum problems 4
Grazie per la risposta!
Per il punto (b) si può considerare una successione di funzioni \(C^1\)a tratti tale che \(f_n\) sia uguale a 1 in \([0,l-\frac{1}{n}]\) (supponendo che \(l - \frac{1}{n}\) sia ancora maggiore di \(\frac{\pi}{2}\)) e che poi salga come la retta congiungente \((l-\frac{1}{n},1)\) e \((l , 2015)\).
Valutando il funzionale lungo questa successione ci si rende infatti conto che l'inf nelle classe delle funzioni \(C^1\) a tratti è \(- \infty\).
Per concludere basta quindi osservare che l'inf nelle due classi è lo stesso e quindi che non esiste il minimo nella classe delle \(C^1\).
Spero di non aver detto delle fesserie.
Per il punto (b) si può considerare una successione di funzioni \(C^1\)a tratti tale che \(f_n\) sia uguale a 1 in \([0,l-\frac{1}{n}]\) (supponendo che \(l - \frac{1}{n}\) sia ancora maggiore di \(\frac{\pi}{2}\)) e che poi salga come la retta congiungente \((l-\frac{1}{n},1)\) e \((l , 2015)\).
Valutando il funzionale lungo questa successione ci si rende infatti conto che l'inf nelle classe delle funzioni \(C^1\) a tratti è \(- \infty\).
Per concludere basta quindi osservare che l'inf nelle due classi è lo stesso e quindi che non esiste il minimo nella classe delle \(C^1\).
Spero di non aver detto delle fesserie.
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Massimo Gobbino
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Re: Minimum problems 4
Corretto. In questo modo si mostra che l'inf è \(-\infty\).
Sempre per il punto (b), se uno si vuole limitare alla non esistenza del minimo, basta osservare che la condizione (L) non è soddisfatta.
Sempre per il punto (b), se uno si vuole limitare alla non esistenza del minimo, basta osservare che la condizione (L) non è soddisfatta.