Gamma convergence 4

[TizianoA]

Stavo provando a risolvere l'esercizio 2 a pag. 33.
Ho pensato di risolverlo così: posto \(F_n(x) = x^2 + e^x + n\sin x\), poiché c'è equicoercività, se \(F_{\infty}(x)=\Gamma-\lim F_n(x)\) allora \(x_n\to x_{\infty}\in\arg\min \{ F_{\infty}(x)\,:\,x\in\mathbb{R}\}\).
Dato però che ottengo
$$
F_{\infty}(x) =
\begin{cases}
+\infty & x \in (2k\pi, (2k+1)\pi),\,k\in\mathbb{Z}\\
-\infty & x \in [(2k-1)\pi, 2k\pi],\,k\in\mathbb{Z}
\end{cases}
$$
mi blocco dove sbaglio?
Grazie

[Massimo Gobbino]

Di sbagliato non c'è nulla, se non che quel procedimento porta in un vicolo cieco.

Tante volte però conviene riscalare opportunamente i funzionali prima di partire con la Gamma-convergenza ...

[TizianoA]

D'accordo, ci avevo anche provato, ma non riuscivo a concludere.
Scrivo

\(F_n(x) = n G_n(x) = n \left(\dfrac{x^2}{n}+\dfrac{e^x}{n}+\sin x\right)\),

quindi \(x_n\in\arg\min G_n(x)\). Poi

\(\Gamma-\lim G_n(x) = \sin x = G_{\infty}(x)\),

quindi ogni sottosuccessione convergente di \(x_n\) converge ad un punto di minimo di \(G_{\infty}(x)\). Ma siccome per ogni n si ha \(x_n\in [-\pi,0]\) allora necessariamente \(x_n\to -\frac{\pi}{2}\).

[Massimo Gobbino]

Ora mi pare molto meglio . L'unico punto un attimo delicato è mostrare che \(x_n\in[-\pi,0]\), ma è pura analisi 1.