Provo a rispondere io
Dunque, effettivamente il minimo per il funzionale:
[tex]\displaystyle F_2(u) = \int_0^1 u^2+\arctan(\dot{u}^2) \ dx[/tex]
non esiste. Per vederlo, innanzitutto notiamo che sicuramente per ogni [tex]u \in C^1([0,1])[/tex] con [tex]u(0)=1[/tex] vale [tex]F_2(u) \ge 0[/tex]. In realtà vale [tex]F_2(u)>0[/tex], in quanto se poni [tex]F_2(u)=0[/tex] ottieni che [tex]||\dot{u}||_{L^2}^2=0[/tex] e [tex]||u||_{L^2}^2=0[/tex], da cui [tex]u \equiv 0[/tex], e ciò è assurdo.
Per concludere, allora, possiamo mostrare che:
[tex]\displaystyle \inf_{u \in C^1([0,1]) , u(0)=1} F_2(u)=0[/tex]
Si può dimostrare ciò in un paio di modi, dipende dalle tue conoscenze. Ti do le idee, poi tu ti metti a posto i conti:
- Consideri la successione [tex](\phi_n)_{n \in \mathbb{N}^+}[/tex] ove [tex]\phi_n(x)=0[/tex] se [tex]x \ge 1/n[/tex], e [tex]\phi_n(x)=1-q_nx(x-2/n)[/tex] se [tex]x \le 1/n[/tex], con [tex]q_n[/tex] opportuna costante (insomma, da [tex]0[/tex] a [tex]1/n[/tex] una mezza parabola, e poi nulla a tappeto: l'importante è che il vertice della parabola sia nel punto [tex](1/n,0)[/tex]). Se sviluppi i conti, hai facilmente che [tex]F_2(\phi_n) \le 1/n(1+\pi/2)[/tex], da cui la tesi;
- Se hai studiato la parte relativa al rilassamento, puoi usare il fatto che l'estremo inferiore del funzionale è uguale all'estremo inferiore del funzionale rilassato, ad esempio, in [tex]C^0([0,1])[/tex] con [tex]u(0)=1[/tex], il quale è sicuramente non negativo ma minore o uguale del funzionale di partenza (dovrebbe essere uguale, però non ho fatto i conti quindi ci metto solo mezza mano sul fuoco). A questo punto, consideri la successione di funzioni [tex](\psi_n)_{n \in \mathbb{N}^+}[/tex] ove [tex]\psi_n[/tex] è fatta collegando i punti [tex](0,1),(1/n,0),(1,0)[/tex] (affine a tratti), e concludi come sopra (i conti vengono più facili, e le funzioni sono più facili da immaginare).
Moralmente, stai prendendo la successione [tex](\psi_n)_{n \in \mathbb{N}^+}[/tex], e poi stai raccordando nel punto [tex]1/n[/tex] in maniera [tex]C^1[/tex]: tale raccordo non cambia la sostanza, ossia la convergenza delle immagini secondo [tex]F_2[/tex] a [tex]0[/tex].
Consiglio per il futuro: quando la parte sulla derivata è limitata, oppure ha crescita meno che lineare, e se intuisci che il minimo del funzionale sia una certa funzione [tex]u_0[/tex] che però non appartiene all'insieme dove stai operando (come in questo caso, è evidente che l'inf sia realizzato dalla funzione nulla), allora ciò presuppone la non esistenza del minimo. Infatti è standard generare una successione di funzioni dove ognuna è uguale a [tex]u_0[/tex] tra 1/n e 1-1/n, e poi in quei due intervallini usa parecchia derivata per soddisfare le condizioni al bordo.
Spero di essere stato chiaro, se hai dubbi scrivi pure, qualcuno ti risponderà
EDIT: Prof., non sarebbe il caso di spostare ciò nella sezione "Minimum problems 3"?
