Scritti d'esame 2018

[Massimo Gobbino]

Iniziamo con il primo esercizio.

(a) Il procedimento è sostanzialmente corretto, ma non mi sembra che la soluzione trovata verifichi la NBC.

(b) Nel sistema trovato non è correttissimo chiamare DBC e NBC le condizioni trovate, in quanto riguardano relazioni tra i valori nei due estremi. Qui si tratta di una specie di PBC, ma anche questo non è adattissimo come nome. A parte la terminologia, che lascia il tempo che trova, qui c'è però un problema sostanziale. Il fatto che il sistema non abbia soluzioni è un sintomo, non una diagnosi. In questi casi occorre stabilire cosa accade, cioè rispondere alle domande di sempre: esiste il minimo? se sì, chi lo realizza? se no, qual è l'inf?

[Firnen]

Iniziamo con il primo esercizio.

(a) Il procedimento è sostanzialmente corretto, ma non mi sembra che la soluzione trovata verifichi la NBC.

Ha ragione, avevo sbagliato i conti... . La soluzione, cioe' il minimo cercato, dovrebbe essere \(u(x)=\displaystyle\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x\)

Iniziamo con il primo esercizio.

(b) Nel sistema trovato non è correttissimo chiamare DBC e NBC le condizioni trovate, in quanto riguardano relazioni tra i valori nei due estremi. Qui si tratta di una specie di PBC, ma anche questo non è adattissimo come nome. A parte la terminologia, che lascia il tempo che trova, qui c'è però un problema sostanziale. Il fatto che il sistema non abbia soluzioni è un sintomo, non una diagnosi. In questi casi occorre stabilire cosa accade, cioè rispondere alle domande di sempre: esiste il minimo? se sì, chi lo realizza? se no, qual è l'inf?

Risolvere ELE è condizione necessaria per essere minimo, sospetto quindi che \(\inf=-\infty\). Costruisco quindi una successione di funzioni che rispettano le condizioni date (che non chiamerò piú DBC) ad esempio \(u_n(x)=3x^3-n\) e dimostro che \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}F(u_n)=-\infty\) poiché la traslazione sotto il quadrato viene ammazzata dalla derivata e quindi il termine in \(u\) porta giú a piacimento il valore dell'integrale.

[C_Paradise]

Per il terzo esercizio del secondo compito provo a dare qualche suggerimento sperando di non aver preso abbagli

Punto 1) Guardando la forma quadratica associata dovrebbe essere facile dedurre che per \(l<\pi\) la funzione nulla è WLM (abbiamo le condizioni \((E)+(L^+)+(J^+)\)) e per \(l>\pi\) non è WLM (salta l’implicazione \((L^+) \rightarrow (J)\)).

Per \(l=\pi\) tutte le condizioni necessarie sono soddisfatte e nessuna delle sufficienti lo è, quindi bisogna fare di meglio. Dico che non è WLM e per farlo considero la successione \(u_\varepsilon(x)=\varepsilon \sin(x)\) (che verifica i dati al bordo) e ora sviluppando l’arcotangente e il seno quanto basta si vede che si va sotto zero.

Punto 2) Motto: non devi pagare di derivata perché offre l’arcotangente.
Si possono considerare le funzioni \(u_{\varepsilon,n}(x)=\varepsilon\) in \([1/n,l-1/n]\) e raccordate linearmente a zero fuori.

Punto 3) L’inf è maggiore o uguale a \(-l\), riadattando la successione del punto 2) si mostra che è proprio \(-l\) (in particolare non può essere minimo).

Se servono più dettagli o c’è qualcosa che non ti convince chiedi pure, vista l’ora sono stato un po’ stringato

[Massimo Gobbino]

Passiamo al secondo esercizio.

Una volta scritta la formulazione variazionale mi pare che sia tutto completamente standard. L'unica osservazione utile è che

\(L(x,s,p)\geq p^2-3728.\)

Nello scrivere la soluzione, occorre prestare attenzione a verificare che la NBC che nasce è esattamente quella voluta. Questo è semplice ma non ovvio.

Quanto alla strategia con cambio di variabili, mi sembra perfettamente praticabile. Basta porre \(u(x)=v(x)+7x\), vedere quale equazione deve risolvere \(v(x)\) e formularla variazionalmente. Poi si applica il metodo diretto come sempre.

Volendo essere creativi, va bene anche \(u(x)=v(x)+7\arctan x\).

Lascerei i dettagli a qualche volonteroso.

Sul terzo esercizio ho davvero poco da aggiungere al post di C_Paradise, se non i ringraziamenti per l'arcotangente che paga per tutti e l'invito ad interpretare il punto (c) in termini di rilassamento.

[Massimo Gobbino]

Passiamo infine al quarto esercizio.

Sul punto (a) sono abbastanza d'accordo, ma la funzione di cui serve la monotonia in fase di regolarità (e poi monotonia non basta) non è quella citata.

Sul punto (b) sono abbastanza d'accordo sulle linee generali, ma non sulla discussione precorsistica del segno del coseno.

Sul punto (c) sono ancora abbastanza d'accordo sulle linee generali, ma servirebbero più dettagli sulle BC del problema limite, e probabilmente anche un po' di equicoercività.

[Firnen]

Grazie mille ad entrambi per le risposte. Riguardando ciò che ho scritto, mi son accorto di aver fatto un'infintà di errori di distrazione . Devo sistemare i post precedenti per rendere più pulita la lettura?

[Massimo Gobbino]

Devo sistemare i post precedenti per rendere più pulita la lettura?

I posteri te ne sarebbero grati (il LaTeX lo avevo già un po' sistemato io).

[Massimo Gobbino]

Posto qui alcune tracce di soluzioni, utili solo a chi ha già provato a svolgere gli esercizi. Sono benvenute le segnalazioni di errori.

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[Firnen]

Posto qui alcune tracce di soluzioni, utili solo a chi ha già provato a svolgere gli esercizi. Sono benvenute le segnalazioni di errori.

Professore le volevo segnalare due probabili errori nella soluzione del secondo scritto.
Nel secondo esercizio la Lagrangiana per rispettare le condizioni al bordo date non dovrebbe essere modificata con un termine \((49-\cos 7)\dot{u}\)?
Nel terzo esercizio quando calcola l'inviluppo convesso considera la Lagrangiana come \(\phi(p)=\arctan p\) mentre nel testo e' \(\arctan (\dot{u})\). Questo comporta che l'inf si comporta come \(-l\) e non come \(-\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}+1\right)l\)

[Massimo Gobbino]

volevo segnalare due probabili errori nella soluzione del secondo scritto.

Giustissimo, grazie. Pensavo di aver corretto quegli errori da tempo, ed invece poi ho caricato la vecchia versione. Tanto per non far torto a nessuno, c'era uno stupido errore pure nel primo esercizio