Scritti d'esame 2016

[Carmine]

Pubblico la soluzione del terzo compito, ASSOLUTAMENTE DA PRENDERE CON LE PINZE NELL'ESERCIZIO 4. Ho fatto un delirio, ma non sapevo come farlo in maniera elementare. Consiglio vivamente di armarsi di carta e penna, se si vuole consultare la soluzione. Il 4 secondo me era tosto tosto...

Per il Prof: mi piacerebbe sapere se la mia soluzione non fa acqua da qualche parte, e se esiste una soluzione più semplice (rettifico: qual è una soluzione più semplice, perchè di sicuro esiste una soluzione più semplice del delirio che ho combinato).

Al solito, non fatevi problemi a commentare o chiedere chiarimenti.

[Massimo Gobbino]

Ho aggiunto lo scritto del quarto appello, con una piccola modifica rispetto alla versione originale per rendere il primo esercizio più vario.

[Massimo Gobbino]

Già che ci sono, segnalo i due punti che hanno creato più problemi ai partecipanti al quarto scritto.

Nell'esercizio 1, saper gestire il fatto che il sistema corrispondente alle BC non avesse soluzione.

Nell'esercizio 2, trovare un funzionale che produca la NBC non omogenea u'(0)=555.

Nell'eserciziario ci sono vari esempi di richieste di questo tipo. Ad esempio, per la NBC non omogenea, ci sono almeno 3 possibilità:

1. aggiungere termini del tipo +-555u' al funzionale (vedi fondo di pagina 34 dello stampato integrale),
2. pensare u(x)=555x+v(x) e scrivere il problema risolto da v(x), che ora ha NBC omogenea,
3. mimare il primo esercizio di "minimum problems 2".

[TizianoA]

Provo a scrivere la soluzione del primo esercizio (nella versione modificata, cioè quella caricata online).

Punto a): Sia \(X = \{ u\in C^2([0,1])\,:\, u(0)=u(1)=0\}\).
Se \(u\in X\) è punto di minimo per il funzionale \(F(u)\) allora per \(v\in V := X\), posto \(\phi(t) = F(u+tv)\), si deve avere \(\phi'(0)=0\). Facendo i conti si ottiene
$$
\int_0^1 \big( 2\ddot{u}\ddot{v} -7x\dot{v} -10 v\big) dx = 0,\quad \forall v\in V.
$$
Supponendo \(u\in C^4\), derivo per parti ed ottengo
$$ \big[ 2\ddot{u}\dot{v} -2u^{(3)}v - 7xv\big]_0^1 + \int_0^1 \big( 2u^{(4)}-3)v \,dx = 0,\quad \forall v\in V.$$
cioè, siccome \(v\in V\) è nulla al bordo,
$$ \big[ 2\ddot{u}\dot{v}\big]_0^1 + \int_0^1 \big( 2u^{(4)}-3)v \,dx = 0,\quad \forall v\in V.$$
(Fase I) considero le \(v\in V\) tali che \(\dot{v}(0)=\dot{v}(1)=0\). Applicando (una variante di) FLCV, ottengo \(u^{(4)}=\frac{3}{2}\).
(Fase II) Ma allora deve valere \(\ddot{u}(1)\dot{v}(1)-\ddot{u}(0)\dot{v}(0)=0,\, \forall v\in V\). Per l'arbitrarietà di \(v\in V\), questo vuol dire che \(\ddot{u}(0)=\ddot{u}(1)=0\).

Quindi \(u\) deve soddisfare il sistema
$$
\begin{cases}
u^{(4)}=\frac{3}{2} \\
\ddot{u}(0)=\ddot{u}(1)=0 \\
u(0)=u(1)=0
\end{cases}
$$

Si può verificare che il sistema ha un'unica soluzione, che si può anche calcolare esplicitamente con un po' di conti (è un polinomio di quarto grado...): sia \(u_0(x)\) tale soluzione. Voglio mostrare che è l'unico punto di minimo.
Sia \(w\in X\) qualsiasi e \(v=w-u_0\in V\); allora si ha
$$
F(w) = F(u_0+v) = F(u_0) + \underbrace{\int_0^1 \ddot{v}^2\,dx}_{\ge0} + \underbrace{\int_0^1 \big( 2\ddot{u}\ddot{v} -7x\dot{v} -10 v\big) dx}_{=0}
\ge F(u_0)
$$
e vale l'uguaglianza se e solo se \(\ddot{v}=0 \iff v(x)=ax+b\), ma \(v\) è nulla al bordo, quindi se e solo se \(v\equiv 0\iff u_0 = w\). Pertanto \(u_0\) è l'unico punto di minimo.


Punto b): il procedimento è il solito, quindi scrivo meno dettagli. Stavolta però \(X = \{ v\in C^2([0,1])\,:\, \dot{v}(0)=\dot{v}(1)=5\}\) e \(V =\{ v\in C^2([0,1])\,:\, \dot{v}(0)=\dot{v}(1)=0\}\) (cosicché \(u+tv\in X, \, \forall t\in\mathbb{R}\)).
Dalla relazione
$$
\int_0^1 \big( 2\ddot{u}\ddot{v} -7x\dot{v} -10 v\big) dx = 0,\quad \forall v\in V.
$$
ottengo
$$
\big[-2u^{(3)}v - 7xv\big]_0^1 + \int_0^1 \big( 2u^{(4)}-3)v \,dx = 0,\quad \forall v\in V.
$$
Dalla "Fase I" ottengo sempre \(u^{(4)}=\frac{3}{2}\), mentre dalla "Fase II" ricavo \(u^{(3)}(0) = 0\) e \(u^{(3)}(1) = -\frac{7}{2}\).

In conclusione \(u\) deve soddisfare il sistema
$$
\begin{cases}
u^{(4)}=\frac{3}{2} \\
u^{(3)}(0) = 0 \\
u^{(3)}(1) = -\frac{7}{2} \\
\dot{u}(0)=\dot{u}(1)=0
\end{cases}
$$
Tale sistema non ha soluzione: la prima equazione dice che \(u\) è del tipo \(u(x) = \frac{1}{16}x^4+ax^3+bx^2+cx+d\); ma allora la seconda equazione implica \(a = 0\) e dunque la terza diventa \(\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}\).

In effetti, in questo caso \(\inf \{ F(u)\,:\, u\in X\} = -\infty\). Lo si può vedere, ad esempio, considerando la successione \(u_n(x) = 5x+n\): si ha che \(u_n\in X\) per ogni n, e \(F(u_n)\to-\infty\). [NOTA: tale successione andava bene anche al punto (a) dell'esercizio originale ]


Spero di non aver fatto troppi errori . Ogni commento/suggerimento è ben accetto

[Massimo Gobbino]

Grazie a TizianoA per aver postato il suo svolgimento, e soprattutto per averci fatto conoscere il fondamentale procedimento di derivazione per parti .

In effetti l'esercizio originale era venuto un po' banalotto , ma a volte quelli più banali finiscono per risultare più ostici.

A questo punto mi viene una domanda, rispondere alla quale può essere istruttivo. Giustamente si è visto che nel punto (b) il minimo non esiste. Allora, se lo imposto con il metodo diretto, qualcosa deve andare storto ... Cosa?

[TizianoA]

Se provo ad applicare il metodo diretto al punto b) mi blocco al livello della nozione di convergenza che garantisca la compattezza dei sottolivelli

Come formulazione debole considero lo spazio \(X:=\{ u\in H^2((0,1))\,:\, \dot{u}(0)=\dot{u}(1)=5 \}\) di modo che le BC hanno ancora senso.
(Spero di non sbagliare già da qui )

[Massimo Gobbino]

Ho postato il quinto scritto. Ricchi premi per chi individua la risposta giusta al (4b).

[Massimo Gobbino]

Aggiunto il sesto scritto, privato di una domanda banale.

[C_Paradise]

Ho postato il quinto scritto. Ricchi premi per chi individua la risposta giusta al (4b).

Ci provo! Prima di tutto pongo \(u(x)=\sqrt{\varepsilon} \cdot v(x)\) ottenendo

\(\int_0^1 \varepsilon \dot{v}^2 + \varepsilon^4 v^6 - \varepsilon^2 v^4 \,dx \quad \colon \quad \int_0^1 v^2 = 1\)

raccolgo un \(\varepsilon^2\) e chiamo \(G_{\varepsilon}(v)=\int_0^1 \frac{\dot{v}^2}{\varepsilon} + \varepsilon^2 v^6 - v^4 \,dx\)

a questo punto vorrei tanto che \(G_{\varepsilon}(v)\) \(\Gamma-\)convergesse a \(G_0(v)=-\int_0^1 v^4 \,dx\) se \(\dot{v} = 0\) quasi ovunque e \(+\infty\) altrimenti.

Se così fosse \(\min G_{\varepsilon} \to \min G_0\) ma \(\min G_0 = -1\) infatti se \(\dot{v} \equiv 0\) allora \(v\) è costante, ma \(\int_0^1 v^2 = 1\) da cui \(v \equiv \pm 1\) e \(G_0(v)=-1\)

Se quanto scritto è vero si avrebbe \(I_{\varepsilon} / \varepsilon^2 = \min G_{\varepsilon} \to -1\) da cui infinitesimo e parte principale

Non ho fatto i conti, ma forse è la strada giusta, non appena ho un po' di tempo faccio i conti per bene e verifico

[Massimo Gobbino]

Mi sembrano ottimi ingredienti, ma un pizzico di equicoercività ci sta bene .

[Crusp]

Salve!

Avrei una domanda relativa al punto (b) del terzo problema del primo appello del 2016.

Nel punto (b) si chiede di mostrare per quali valori di \(l\) il minimo esiste ed è negativo. La mia domanda riguarda il modo di far vedere che per \(l \geq \frac{\pi}{\sqrt7}\) il minimo è negativo. Non basta osservare (far vedere) che:

1) Il minimo esiste per il punto (a);

2) la funzione costante uguale a 0 non è minimo locale perché la variazione seconda non rispetta la condizione \(J^+ \Rightarrow L^+\)?

Infatti per 2) sappiamo che esiste \(v\) tale che \(F(v) <0\), e quindi chiamato \(u_0\) il minimo globale (di cui è nota l'esistenza) si deve avere che \(0 >F(v) \geq F(u_0)\).

[Massimo Gobbino]

la variazione seconda non rispetta la condizione \(J^+ \Rightarrow L^+\)?

Uhm, questa implicazione non mi torna molto.

Per il resto, va quasi tutto bene tranne il caso critico in cui non capisco come deduci che il minimo è negativo.

[Crusp]

Ha ragione, l'implicazione è \(J^+ \Rightarrow L\).

In effetti non ho ancora risolto il caso critico (ci proverò al più presto).

Grazie!

[Massimo Gobbino]

l'implicazione è \(J^+ \Rightarrow L\).

A me risulta che sia invece \(L^+ \Rightarrow J\)

[Crusp]

Ops, non riesco proprio a farcela