Campi di Weierstrass sempre globali? Mmm..

[teremin]

Carissimi,

Mi chiedevo stamattina un criterio sufficiente per l'esistenza di campi di Weierstrass "globali", ovvero con una famiglia \(u_{\epsilon}\) con \(\epsilon\) che varia in tutto \(\mathbb{R}\) invece che in un intervallino. Per iniziare, diciamo che abbiamo un'equazione differenziale in forma normale
$$ \ddot u = f(x,u, \dot{u})$$
E diciamo che esiste un campo di weierstrass locale intorno a una certa soluzione \(u_0\). Dico allora (ma secondo me è sbagliato) che esiste un campo di Weierstrass globale facendo così: prendo il campo di Weierstrass locale \(u(\epsilon, x)\) con \(\epsilon \in [- \delta, \delta]\), (domanda: lo richiediamo \(C^1\) per essere campo di Weierstrass?).
Pongo allora
$$ w(\epsilon,x) = u( \alpha \arctan ( \epsilon ), x)$$
Dove \(\alpha\) è la cosa giusta per far quadrare gli intervalli, ovvero \(\frac{2 \delta}{\pi}\). Continua a esser crescente in \(\epsilon\), a verificare l'equazione a \(\epsilon\) fissato, e volendo sono C^1 se prima l'abbiamo assunto.

Come corollario, avremmo il seguente
Fatto: sia \(L(x,s, p) = p^2- f(x,s)\), e sia assegnato il problema di minimo relativo con DBC. Supponiamo che per un certo \(u_0\) soluzione di ELE valgano \(L^+, J^+\). Allora \(u_0\) è GM (senza convessità!!).

Dimostrazione: Sia \(w\) un altro competitore. Per L^+, J^+ esiste un campo locale attorno a u_0, dunque anche un anche un campo globale. Sia \(u_{\epsilon}\) questo campo di Weierstrass globale, e \(p\) la slope function associata. Allora:
(1) L'eccesso di Weierstrass è sempre positivo:
$$ E(x,s,p,q) = (q^2 -f(x,s) )-(p^2-f(x,s) ) -(q-p)2p = (q-p)^2 \ge 0 $$
(2) Calcoliamo con la (WRF), che vale perche abbiamo le DBC assegnate:
$$F(w) - F(u) = \int_a^b E(x,w(x), p(x,w(x) ), \dot{w}(x) ) \ge 0 $$

E niente... Voi ci credete?

[Massimo Gobbino]

Io non ci credo e l'errore mi sembra abbastanza evidente ... la globalità di una campo non sta nel dove varia il parametro, ma nel quanto ricoprono le curve.

Tra l'altro, ci sono facili esempi di SLM che non sono GM: un esempio potrebbe essere la funzione identicamente nulla con Lagrangiana

\(p^2+s^2+3000\cos (s^{20})\)

su un intervallo piccolino (non ho fatto i conti, ma se qualcuno vuole cimentarsi è il benvenuto).

[teremin]

Eh si, poi me sono accorto... che scemo!